Sakwilatop: 1Bac Sc : Continuité & Dérivabilité

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Exercice 1 : Paramètre et Continuité

Soit $f$ la fonction définie par : $\begin{cases} f(x) = \frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1} & \text{si } x > 1 \\ f(x) = \frac{1}{4}x + a & \text{si } x \leq 1 \end{cases}$
Déterminer la valeur du réel $a$ pour que $f$ soit continue en $x_0 = 1$.

Méthode : Pour que $f$ soit continue en 1, il faut que la limite à droite soit égale à la limite à gauche et égale à l'image $f(1)$.

1. Limite à droite ($x \to 1^+$) :

$$\lim_{x \to 1^+} \frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{(\sqrt{x+3}-2)(\sqrt{x+3}+2)}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)} = \lim_{x \to 1^+} \frac{x-1}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)} = \frac{1}{4}$$

2. Limite à gauche ($x \to 1^-$) :

$$\lim_{x \to 1^-} (\frac{1}{4}x + a) = \frac{1}{4} + a$$

3. Pour la continuité : $\frac{1}{4} + a = \frac{1}{4} \implies a = 0$.

Conclusion : $f$ est continue en 1 si $a = 0$.

Exercice 2 : TVI et Unicité de Solution

Montrer que l'équation $x^3 + 3x - 1 = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $]0, 1[$.

Méthode : Pour l'existence, on utilise le TVI ($f$ continue et $f(a) \cdot f(b) < 0$). Pour l'unicité, on ajoute la stricte monotonie.

Soit $f(x) = x^3 + 3x - 1$.

$f$ est continue sur $[0, 1]$ (polynôme).
$f'(x) = 3x^2 + 3 > 0$, donc $f$ est strictement croissante.
$f(0) = -1$ et $f(1) = 3$.

Comme $f(0) \cdot f(1) < 0$ et $f$ est strictement croissante, d'après le TVI (Corollaire), l'équation admet une unique solution $\alpha \in ]0, 1[$.

Exercice 3 : Dérivabilité et Tangente

Étudier la dérivabilité de $f(x) = \frac{x}{x+1}$ en $x_0 = 1$ et donner l'équation de la tangente $(T)$ en ce point.

Méthode : On calcule le taux d'accroissement. Si la limite est finie, elle représente le nombre dérivé $f'(x_0)$, qui est la pente de la tangente.

1. Taux d'accroissement : $f(1) = 1/2$.

$$\lim_{x \to 1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{x}{x+1} - \frac{1}{2}}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{2x-(x+1)}{2(x+1)}}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{x-1}{2(x+1)(x-1)} = \frac{1}{4}$$

2. Équation de la tangente : $y = f'(1)(x-1) + f(1)$

$$y = \frac{1}{4}(x-1) + \frac{1}{2} \implies y = \frac{1}{4}x + \frac{1}{4}$$

Exercice 4 : Dérivabilité à Gauche et à Droite

Soit $f(x) = |x^2 - 1|$. Étudier la dérivabilité de $f$ en $x_0 = 1$. Interpréter géométriquement.

Méthode : La valeur absolue change de signe. Il faut étudier la limite à gauche ($x < 1 \implies x^2-1 < 0$) et à droite ($x > 1 \implies x^2-1 > 0$).

1. À droite ($1^+$) : $\lim_{x \to 1^+} \frac{(x^2-1)-0}{x-1} = \lim_{x \to 1^+} (x+1) = 2 = f'_d(1)$.

2. À gauche ($1^-$) : $\lim_{x \to 1^-} \frac{-(x^2-1)-0}{x-1} = \lim_{x \to 1^-} -(x+1) = -2 = f'_g(1)$.

Interprétation : Comme $f'_d(1) \neq f'_g(1)$, $f$ n'est pas dérivable en 1. La courbe $C_f$ admet un point anguleux en $A(1, 0)$.

Exercice 5 : Calcul de Dérivées (Opérations)

Calculer la dérivée $f'(x)$ pour :
a) $f(x) = \frac{2x-1}{x+3}$ \quad b) $g(x) = \sqrt{x^2+1}$

Formules : $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v-uv'}{v^2}$ et $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$.

a) $f'(x) = \frac{2(x+3) - 1(2x-1)}{(x+3)^2} = \frac{2x+6-2x+1}{(x+3)^2} = \frac{7}{(x+3)^2}$.

b) $g'(x) = \frac{(x^2+1)'}{2\sqrt{x^2+1}} = \frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.

Exercice 6 : Composée et Trigonométrie

Calculer la dérivée de $f(x) = \cos(2x^2 + 1)$.

Formule : $(\cos(u))' = -u' \cdot \sin(u)$.

Ici $u(x) = 2x^2 + 1$, donc $u'(x) = 4x$.

$$f'(x) = -(4x) \cdot \sin(2x^2 + 1)$$

Conclusion : $f'(x) = -4x \sin(2x^2 + 1)$.