امتحان 2: الجذور التربيعية - @sakwilatop
المملكة المغربية
إعدادية التميز والابتكار
المادة: الرياضيات (BIOF)
امتحان 2 (الجذور التربيعية)
الفرض المحروس رقم ....
NIVEAU AVANCÉالمستوى: الثالثة إعدادي
الموسم: 2025 / 2026
المدة: 1 ساعة
التمرين الأول: التبسيط والعمليات الجبرية
7 ن
1) بسط التعبير \( A \) إلى أقصى حد (Simplifier au maximum) :
\( A = 2\sqrt{27} - 5\sqrt{12} + 3\sqrt{75} - \sqrt{300} \)
كشف خطوات التبسيط
\( A = 2\sqrt{9 \times 3} - 5\sqrt{4 \times 3} + 3\sqrt{25 \times 3} - \sqrt{100 \times 3} \)
\( A = (2 \times 3)\sqrt{3} - (5 \times 2)\sqrt{3} + (3 \times 5)\sqrt{3} - 10\sqrt{3} \)
\( A = 6\sqrt{3} - 10\sqrt{3} + 15\sqrt{3} - 10\sqrt{3} = (6 - 10 + 15 - 10)\sqrt{3} \)
إذن: **\( A = \sqrt{3} \)**
\( A = (2 \times 3)\sqrt{3} - (5 \times 2)\sqrt{3} + (3 \times 5)\sqrt{3} - 10\sqrt{3} \)
\( A = 6\sqrt{3} - 10\sqrt{3} + 15\sqrt{3} - 10\sqrt{3} = (6 - 10 + 15 - 10)\sqrt{3} \)
إذن: **\( A = \sqrt{3} \)**
2) احسب بتمعن التعبير \( B \) :
\( B = \sqrt{2 + \sqrt{2}} \times \sqrt{2 - \sqrt{2}} \times \sqrt{2} \)
كشف سر الحل (المتطابقة الهامة الثالثة)
- نجمع أول جذرين تحت جذر واحد: \( \sqrt{(2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2})} \times \sqrt{2} \)
- نطبق المتطابقة \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \):
\( \sqrt{2^2 - (\sqrt{2})^2} \times \sqrt{2} = \sqrt{4 - 2} \times \sqrt{2} \)
- النتيجة: \( \sqrt{2} \times \sqrt{2} = (\sqrt{2})^2 = 2 \).
إذن: **\( B = 2 \)**
- نطبق المتطابقة \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \):
\( \sqrt{2^2 - (\sqrt{2})^2} \times \sqrt{2} = \sqrt{4 - 2} \times \sqrt{2} \)
- النتيجة: \( \sqrt{2} \times \sqrt{2} = (\sqrt{2})^2 = 2 \).
إذن: **\( B = 2 \)**
التمرين الثاني: حذف الجذر من المقام (التقنية المتقدمة)
5 ن
اجعل مقام الأعداد التالية عدداً جذرياً (Rendre le dénominateur rationnel) :
\( C = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7} + \sqrt{2}} \)
الحل بالمرافق
\( C = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{7} - \sqrt{2})}{(\sqrt{7} + \sqrt{2})(\sqrt{7} - \sqrt{2})} \)
\( C = \frac{\sqrt{21} - \sqrt{6}}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{21} - \sqrt{6}}{7 - 2} \)
إذن: **\( C = \frac{\sqrt{21} - \sqrt{6}}{5} \)**
\( C = \frac{\sqrt{21} - \sqrt{6}}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{21} - \sqrt{6}}{7 - 2} \)
إذن: **\( C = \frac{\sqrt{21} - \sqrt{6}}{5} \)**
\( D = \frac{2\sqrt{2} - 1}{2\sqrt{2} + 1} \)
الحل
\( D = \frac{(2\sqrt{2} - 1)^2}{(2\sqrt{2} + 1)(2\sqrt{2} - 1)} = \frac{(2\sqrt{2})^2 - 2(2\sqrt{2})(1) + 1^2}{(2\sqrt{2})^2 - 1^2} \)
\( D = \frac{8 - 4\sqrt{2} + 1}{8 - 1} = \frac{9 - 4\sqrt{2}}{7} \)
\( D = \frac{8 - 4\sqrt{2} + 1}{8 - 1} = \frac{9 - 4\sqrt{2}}{7} \)
التمرين الثالث: المعادلات والبحث عن المجهول
4 ن
حل المعادلات التالية (Résoudre les équations) :
1) \( 3x^2 - 7 = 20 \) 2) \( (x - \sqrt{5})^2 = 3 \)
كشف الحلول
1) \( 3x^2 = 27 \implies x^2 = 9 \). الحلول هي: **\( x=3 \)** أو **\( x=-3 \)**.
2) \( x - \sqrt{5} = \sqrt{3} \) أو \( x - \sqrt{5} = -\sqrt{3} \).
الحلول هي: **\( x = \sqrt{5} + \sqrt{3} \)** أو **\( x = \sqrt{5} - \sqrt{3} \)**.
2) \( x - \sqrt{5} = \sqrt{3} \) أو \( x - \sqrt{5} = -\sqrt{3} \).
الحلول هي: **\( x = \sqrt{5} + \sqrt{3} \)** أو **\( x = \sqrt{5} - \sqrt{3} \)**.
التمرين الرابع: سؤال التميز (The Master Challenge)
4 ن
برهن أن (Montrer que) :
\( \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3} \)
كشف البرهان الذكي
- لنحسب مربع الطرف الأيمن: \( (2 - \sqrt{3})^2 \)
- \( (2 - \sqrt{3})^2 = 2^2 - 2(2)(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^2 \)
- \( = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3} \)
- بما أن \( 2 > \sqrt{3} \) (لأن \( 4 > 3 \))، فإن \( 2 - \sqrt{3} \) موجب.
- إذن: **\( \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3} \)**.
- \( (2 - \sqrt{3})^2 = 2^2 - 2(2)(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^2 \)
- \( = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3} \)
- بما أن \( 2 > \sqrt{3} \) (لأن \( 4 > 3 \))، فإن \( 2 - \sqrt{3} \) موجب.
- إذن: **\( \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3} \)**.
"الرياضيات هي لغة العباقرة.. وأنت في طريقك لتصبح أحدهم."
Content by @sakwilatop