Calcul Trigonométrique

Le guide complet : Cercle, Formules et Équations

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Le Cercle Trigonométrique

C'est un cercle de centre \( O(0,0) \) et de rayon \( R=1 \). L'axe des abscisses représente le Cosinus et l'axe des ordonnées représente le Sinus.

Sens direct : Sens anti-horaire (+).
Sens indirect : Sens horaire (-).
\( \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \).

Valeurs Usuelles (À mémoriser)

\( x \) (rad)	0	\( \frac{\pi}{6} \)	\( \frac{\pi}{4} \)	\( \frac{\pi}{3} \)	\( \frac{\pi}{2} \)
\( \sin(x) \)	0	\( \frac{1}{2} \)	\( \frac{\sqrt{2}}{2} \)	\( \frac{\sqrt{3}}{2} \)	1
\( \cos(x) \)	1	\( \frac{\sqrt{3}}{2} \)	\( \frac{\sqrt{2}}{2} \)	\( \frac{1}{2} \)	0
\( \tan(x) \)	0	\( \frac{\sqrt{3}}{3} \)	1	\( \sqrt{3} \)	\|\|

Formules de Transformation

1. Formules d'addition :

\cos(a \pm b) = \cos a \cos b \mp \sin a \sin b

\sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b

2. Formules de duplication :

\sin(2a) = 2 \sin a \cos a

\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1

3. Symétries sur le cercle :

\( \cos(-x) = \cos x \)

\( \sin(-x) = -\sin x \)

\( \cos(\pi - x) = -\cos x \)

\( \sin(\pi - x) = \sin x \)

Résolution d'équations

Pour \( \cos x = \cos \alpha \) :

\( x = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -\alpha + 2k\pi \)

Pour \( \sin x = \sin \alpha \) :

\( x = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = (\pi - \alpha) + 2k\pi \)

⚡ Exercice Rapide

Calculer la valeur exacte de \( \cos(\frac{5\pi}{6}) \).

On sait que \( \frac{5\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{6} \).
D'après la formule \( \cos(\pi - x) = -\cos x \), on a :
\( \cos(\frac{5\pi}{6}) = -\cos(\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \).

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