LES NOMBRES FRACTIONNAIRES

I. Définition d'un nombre fractionnaire

Le quotient d'un nombre entier $a$ par un nombre entier non nul $b$ est noté $\frac{a}{b}$ . Ce quotient est appelé nombre fractionnaire.

$ \frac{a}{b} $

• a : est appelé le Numérateur

• b : est appelé le Dénominateur (doit être différent de 0)

Application 1 :

Écrire sous forme de fraction les quotients suivants :
1) $ 5 \div 7 = \dots $ 2) $ 12 \div 4 = \dots $ 3) $ 0,5 \div 2 = \dots $

II. Égalité de deux fractions

Propriété :

La valeur d'une fraction ne change pas si l'on multiplie (ou on divise) son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.

$ \frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k} $ et $ \frac{a}{b} = \frac{a \div k}{b \div k} $

1. Simplification :

Simplifier une fraction, c'est diviser son numérateur et son dénominateur par un diviseur commun pour obtenir une fraction plus simple.

Application 2 :

Simplifier les fractions suivantes :
$ \frac{15}{25} = \dots $ $ \frac{42}{36} = \dots $ $ \frac{100}{200} = \dots $

III. Comparaison de fractions

Même dénominateur : La plus grande fraction est celle qui a le plus grand numérateur.
Même numérateur : La plus grande fraction est celle qui a le plus petit dénominateur.
Comparaison à 1 :
- Si $ a > b $, alors $ \frac{a}{b} > 1 $.
- Si $ a < b $, alors $ \frac{a}{b} < 1 $.

Application 3 :

Comparer avec les signes $ < , > , = $ :
1) $ \frac{7}{5} \dots \frac{3}{5} $ 2) $ \frac{4}{9} \dots \frac{4}{11} $ 3) $ \frac{13}{15} \dots 1 $

IV. Opérations sur les fractions

1. Addition et Soustraction :

Pour additionner (ou soustraire) deux fractions ayant le même dénominateur, on additionne (ou on soustrait) les numérateurs et on garde le dénominateur commun.

$ \frac{a}{k} + \frac{b}{k} = \frac{a+b}{k} $

Note : Si les dénominateurs sont différents, on doit d'abord réduire au même dénominateur.

2. Multiplication :

Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

$ \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} $

Application 4 :

Calculer les expressions suivantes :
$ A = \frac{3}{7} + \frac{5}{7} = \dots $
$ B = \frac{11}{4} - \frac{3}{4} = \dots $
$ C = \frac{2}{3} \times \frac{5}{7} = \dots $