Les Équations - sakwilatop

Mathématiques3ème Année Collège

Les Équations

Objectifs pédagogiques

• ●Reconnaître et résoudre une équation du premier degré à une inconnue.
• ●Résoudre une équation produit nul du type $(ax+b)(cx+d)=0$.
• ●Résoudre des équations simples de la forme $x^2=a$.
• ●Mettre en équation un problème réel, le résoudre et interpréter le résultat.

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Introduction

Une équation est une égalité dans laquelle intervient un nombre inconnu, désigné généralement par une lettre (souvent $x$). Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs de cette inconnue pour lesquelles l'égalité est vraie. Ce chapitre consolide les acquis sur les équations du premier degré à une inconnue et introduit la résolution des équations-produit, indispensables pour la modélisation de problèmes mathématiques et physiques.

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I. Équations du premier degré à une inconnue

Une équation du premier degré à une inconnue est une équation qui peut se ramener à la forme $ax+b=0$, où $x$ est l'inconnue et $a$ et $b$ sont des nombres réels donnés.

Règles de résolution :

Pour isoler l'inconnue $x$, on utilise les propriétés de l'égalité :

1. On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres d'une égalité.

2. On peut multiplier ou diviser les deux membres d'une égalité par un même nombre non nul.

Cas possibles :

- Si $a\ne 0$ : L'équation admet une solution unique $x=-\frac{b}{a}$.

- Si $a=0$ et $b\ne 0$ : L'équation s'écrit $0x=-b$. C'est impossible, donc l'équation n'a pas de solution.

- Si $a=0$ et $b=0$ : L'équation s'écrit $0x=0$. Cette égalité est vraie pour tout réel $x$, donc l'équation admet une infinité de solutions.

Exemple :

Résolvons $3x-5=x+7$ :

$$3x-x=7+5$$

$$2x=12$$

$$x=\frac{12}{2}=6$$

La solution est $6$.

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II. Équation produit nul

Une équation produit nul est une équation dont le premier membre est un produit de facteurs et le second membre est nul. Elle se présente souvent sous la forme $(ax+b)(cx+d)=0$.

Propriété fondamentale :

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul.

$$A\times B=0⟺A=0\text{ ou }B=0$$

Méthode de résolution :

Pour résoudre $(ax+b)(cx+d)=0$, on résout les deux équations du premier degré séparément :

1. $ax+b=0$

2. $cx+d=0$

Exemple :

Résolvons $(2x-4)(3x+9)=0$ :

Cela signifie que $2x-4=0$ ou $3x+9=0$.

- Pour $2x-4=0$ : $2x=4⟹x=2$.

- Pour $3x+9=0$ : $3x=-9⟹x=-3$.

L'équation admet deux solutions : $-3$ et $2$.

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III. Équation de la forme $x^2=a$

La résolution des équations de type $x^2=a$ dépend du signe du nombre réel $a$.

Trois cas se présentent :

1. Si $a>0$ : L'équation possède deux solutions opposées, $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$.

Exemple : $x^2=9$ a pour solutions $3$ et $-3$.

2. Si $a=0$ : L'équation $x^2=0$ possède une unique solution, $x=0$.

3. Si $a<0$ : L'équation n'a pas de solution réelle (car un carré est toujours positif ou nul).

Exemple : $x^2=-4$ n'a pas de solution.

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IV. Résolution de problèmes (Mise en équation)

La mise en équation permet de résoudre des problèmes concrets en suivant une méthodologie rigoureuse en quatre étapes :

1. Choix de l'inconnue : Identifier la grandeur cherchée et la nommer (généralement $x$).

2. Mise en équation : Traduire les phrases de l'énoncé en langage mathématique pour obtenir une égalité.

3. Résolution de l'équation : Trouver la valeur de $x$ en utilisant les techniques algébriques.

4. Interprétation et vérification : Vérifier si la solution trouvée est cohérente avec le problème posé et conclure par une phrase réponse.

Exemple :

*Trouver un nombre tel que son double augmenté de 5 soit égal à son triple diminué de 2.*

- Choix : Soit $x$ le nombre cherché.

- Équation : $2x+5=3x-2$.

- Résolution : $5+2=3x-2x⟹7=x$.

- Conclusion : Le nombre cherché est $7$.

Conclusion générale

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