Les Inéquations du premier degré à une inconnue - sakwilatop

Mathématiques3ème Année Collège

Les Inéquations du premier degré à une inconnue

Objectifs pédagogiques

• ●Définir une inéquation du premier degré à une inconnue.
• ●Maîtriser les propriétés d'ordre et d'opérations (addition, multiplication).
• ●Savoir résoudre une inéquation algébriquement.
• ●Représenter les solutions d'une inéquation sur une droite graduée.
• ●Modéliser et résoudre des problèmes simples à l'aide d'inéquations.

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Introduction

Dans ce chapitre, nous abordons la notion d'inéquation du premier degré à une inconnue. Contrairement aux équations dont la solution est souvent un nombre précis, les inéquations permettent de déterminer un ensemble de valeurs vérifiant une inégalité. La maîtrise des règles d'ordre et d'opérations est fondamentale pour résoudre ces problèmes mathématiques et les appliquer à des situations concrètes.

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1. Définition et Vocabulaire

Une inéquation du premier degré à une inconnue est une inégalité qui peut s'écrire sous l'une des formes suivantes : $ax+b<0$, $ax+b\le 0$, $ax+b>0$, ou $ax+b\ge 0$, où $x$ est l'inconnue et $a$ et $b$ sont des nombres réels donnés ($a\ne 0$).

Solution d'une inéquation :

Résoudre une inéquation, c'est trouver toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles l'inégalité est vraie. Ces valeurs constituent l'ensemble des solutions.

Exemple : Pour l'inéquation $2x+1>5$, le nombre $3$ est-il solution ?

On remplace $x$ par $3$ : $2\times 3+1=7$. Comme $7>5$, alors $3$ est une solution.

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2. Ordre et Opérations

Pour isoler l'inconnue $x$ et résoudre l'inéquation, nous utilisons les propriétés suivantes liées à l'ordre dans l'ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$.

Propriété 1 : Addition et Soustraction

On ne change pas le sens d'une inégalité si on ajoute ou on retranche le même nombre aux deux membres.

Si $a\le b$, alors $a+c\le b+c$.

Propriété 2 : Multiplication et Division

* Cas d'un nombre positif : On ne change pas le sens de l'inégalité si on multiplie ou divise les deux membres par un même nombre strictement positif.

Si $a\le b$ et $k>0$, alors $ka\le kb$.

* Cas d'un nombre négatif (CRITIQUE) : On change le sens de l'inégalité si on multiplie ou divise les deux membres par un même nombre strictement négatif.

Si $a\le b$ et $k<0$, alors $ka\ge kb$.

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3. Méthode de Résolution et Représentation Graphique

Pour résoudre une inéquation, on regroupe les termes en $x$ d'un côté et les constantes de l'autre.

Exemple de résolution :

Résolvons $-3x+4\le 16$.

1. On soustrait 4 aux deux membres :

$$-3x\le 12$$

2. On divise par $-3$. Attention, comme $-3$ est négatif, le sens de l'inégalité change :

$$x\ge \frac{12}{-3}⟹x\ge -4$$

Les solutions sont tous les nombres supérieurs ou égaux à $-4$.

Représentation graphique :

On trace une droite graduée. On place la valeur limite (ici $-4$).

* On colorie la partie de la droite correspondant aux solutions (à droite de $-4$).

* Le crochet est tourné vers les solutions si l'inégalité est large ($\le$ ou $\ge$), et vers l'extérieur si elle est stricte ($<$ ou $>$).

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4. Résolution de Problèmes

La résolution de problèmes par inéquation suit les mêmes étapes que pour les équations :

1. Choix de l'inconnue : Identifier la variable cherchée.

2. Mise en inéquation : Traduire l'énoncé en langage mathématique.

3. Résolution : Résoudre l'inéquation obtenue.

4. Interprétation : Conclure en répondant à la question posée, en tenant compte du contexte (par exemple, des longueurs ou des nombres d'objets ne peuvent pas être négatifs).

*Exemple :* Un opérateur propose un forfait à 100 DH plus 2 DH par minute. Combien de minutes peut-on consommer pour ne pas dépasser 200 DH ?

$$100+2x\le 200⟹2x\le 100⟹x\le 50$$

. On peut consommer au maximum 50 minutes.

Conclusion générale

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