Les racines carrées - sakwilatop

Mathématiques3ème Année Collège

Les racines carrées

Objectifs pédagogiques

• ●Définir la racine carrée d'un nombre réel positif.
• ●Maîtriser les propriétés algébriques des racines carrées (produit et quotient).
• ●Savoir simplifier des expressions contenant des radicaux.
• ●Savoir rendre rationnel le dénominateur d'une fraction.
• ●Résoudre des équations de la forme $x^2=a$.

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Introduction

La notion de racine carrée est fondamentale en mathématiques, particulièrement pour la résolution d'équations du second degré et l'application du théorème de Pythagore. Ce cours, conforme au programme de la 3ème année du cycle secondaire collégial, définit la racine carrée d'un nombre positif et explore les règles de calcul qui s'y rapportent.

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I. Définition et propriétés fondamentales

Soit $a$ un nombre réel positif. La racine carrée de $a$, notée $\sqrt{a}$, est le seul nombre réel positif dont le carré est égal à $a$.

$$(\sqrt{a}{)}^2=a$$

Conséquence immédiate :

Pour tout nombre réel $a$, nous avons la propriété suivante concernant la racine carrée du carré d'un nombre :

- Si $a\ge 0$, alors $\sqrt{a^2}=a$.

- Si $a<0$, alors $\sqrt{a^2}=-a$ (c'est-à-dire la valeur absolue de $a$).

Exemples :

- $\sqrt{49}=7$ car $7^2=49$ et $7>0$.

- $\sqrt{0}=0$.

- $\sqrt{(-5{)}^2}=\sqrt{25}=5$.

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II. Opérations sur les racines carrées

Les opérations sur les racines carrées suivent des règles strictes de produit et de quotient. Il est crucial de noter qu'il n'existe pas de règle générale simple pour l'addition ou la soustraction.

1. Produit de racines carrées

Pour tous nombres réels positifs $a$ et $b$ :

$$\sqrt{a}\times \sqrt{b}=\sqrt{a\times b}$$

*Exemple :* $\sqrt{2}\times \sqrt{8}=\sqrt{16}=4$.

2. Quotient de racines carrées

Pour tout réel positif $a$ et tout réel strictement positif $b$ :

$$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$$

*Exemple :* $\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{27}{3}}=\sqrt{9}=3$.

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III. Simplification d'écriture (Forme $a\sqrt{b}$)

Pour simplifier une racine carrée, on cherche à faire apparaître le plus grand carré parfait possible sous le radical. On utilise la formule :

$$\sqrt{a^2\times b}=a\sqrt{b}$$

(pour $a$ et $b$ positifs).

Méthode :

Pour simplifier $\sqrt{75}$ :

1. On décompose 75 en produit d'un carré parfait et d'un autre nombre : $75=25\times 3$.

2. On applique la règle du produit : $\sqrt{75}=\sqrt{25\times 3}=\sqrt{25}\times \sqrt{3}$.

3. On calcule la racine du carré parfait : $5\sqrt{3}$.

Autre exemple : $2\sqrt{50}=2\sqrt{25\times 2}=2\times 5\sqrt{2}=10\sqrt{2}$.

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IV. Rendre rationnel le dénominateur

Il est d'usage en mathématiques de ne pas laisser de radical au dénominateur d'une fraction. Deux cas se présentent :

Cas 1 : Dénominateur simple ($\frac{a}{\sqrt{b}}$)

On multiplie le numérateur et le dénominateur par $\sqrt{b}$.

$$\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\times \sqrt{3}}{\sqrt{3}\times \sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$$

Cas 2 : Dénominateur avec une somme (Utilisation du conjugué)

Pour un dénominateur de forme $a+\sqrt{b}$, on multiplie par l'expression conjuguée $a-\sqrt{b}$ pour utiliser l'identité remarquable $(A+B)(A-B)=A^2-B^2$.

$$\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{1\times (2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=\frac{2-\sqrt{3}}{2^2-(\sqrt{3}{)}^2}=\frac{2-\sqrt{3}}{4-3}=2-\sqrt{3}$$

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V. Résolution de l'équation $x^2=a$

La résolution de l'équation $x^2=a$ dépend du signe du nombre réel $a$ :

1. Si $a<0$ : L'équation n'a aucune solution réelle (un carré est toujours positif ou nul).

2. Si $a=0$ : L'équation admet une solution unique : $x=0$.

3. Si $a>0$ : L'équation admet deux solutions opposées :

$$x=\sqrt{a}\text{et}x=-\sqrt{a}$$

*Exemple :* Les solutions de $x^2=9$ sont $3$ et $-3$.

Conclusion générale

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