Limites et Dérivabilité - sakwilatop
Royaume du Maroc
Ministère de l'Éducation Nationale, du Préscolaire et des Sports
Ministère de l'Éducation Nationale, du Préscolaire et des Sports
Limites et Dérivation
I. Les Limites
1. Définition
On dit que la fonction f(x) admet une limite L lorsque x tend vers a si les valeurs de f(x) se rapprochent de L.
limx→a f(x) = L
2. Propriétés des limites
- limx→a (f(x)+g(x)) = L + M
- limx→a (k·f(x)) = k·L
- limx→a (xn) = an
3. Exemple
Calculer : limx→2 (x² + 3x)
Solution : 2² + 3×2 = 4 + 6 = 10
Solution : 2² + 3×2 = 4 + 6 = 10
II. La Dérivation
1. Définition
La dérivée d’une fonction f(x), notée f'(x), représente le taux de variation de la fonction ou la pente de la tangente.
2. Dérivées usuelles
| Fonction f(x) | Dérivée f'(x) |
|---|---|
| c (constante) | 0 |
| x | 1 |
| xn | n·xn−1 |
| ax + b | a |
3. Exemple
Soit f(x)=3x²+2x−5
f'(x)=6x+2
f'(x)=6x+2
III. Étude des variations
- Si f'(x) > 0, la fonction est croissante.
- Si f'(x) < 0, la fonction est décroissante.
- Si f'(x) = 0, x est un point critique.
Exercice d’application
Soit f(x)=x²−4x+3
f'(x)=2x−4 = 0 ⇒ x = 2
f'(x)=2x−4 = 0 ⇒ x = 2
Conclusion
Les limites permettent d’étudier le comportement d’une fonction,
tandis que la dérivation permet d’analyser ses variations.