Trigonométrie 3AC - Cours et Exercices
Cours complet et 6 exercices d'application (3AC)
📖 Résumé du Cours
Sinus
$\sin = \frac{Opposé}{Hypoténuse}$
Cosinus
$\cos = \frac{Adjacent}{Hypoténuse}$
Tangente
$\tan = \frac{Opposé}{Adjacent}$
Relations Fondamentales :
- $\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1$
- $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$
- Si $\alpha + \beta = 90^\circ$, alors $\sin(\alpha) = \cos(\beta)$
Série d'Exercices
Exercice 1 : Calcul direct
NIVEAU 1
Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ tel que $AB=6$ et $AC=8$.
1. Calculer la longueur de l'hypoténuse $BC$.
2. En déduire les valeurs de $\sin(\hat{B})$, $\cos(\hat{B})$ et $\tan(\hat{B})$.
1. D'après le théorème de Pythagore : $BC^2 = AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$. Donc $\mathbf{BC = 10}$.
2. $\sin(\hat{B}) = \frac{AC}{BC} = \frac{8}{10} = \mathbf{0,8}$
3. $\cos(\hat{B}) = \frac{AB}{BC} = \frac{6}{10} = \mathbf{0,6}$
4. $\tan(\hat{B}) = \frac{AC}{AB} = \frac{8}{6} = \mathbf{\frac{4}{3}}$
Exercice 2 : Calcul de longueur
NIVEAU 1
Soit $EFG$ un triangle rectangle en $E$ tel que l'angle $\hat{F} = 40^\circ$ et l'hypoténuse $FG = 7$ cm.
Calculer la longueur du côté $EF$ (arrondir au millimètre).
On connaît l'angle $\hat{F}$ et l'hypoténuse $FG$. On cherche le côté adjacent $EF$.
On utilise le Cosinus : $\cos(\hat{F}) = \frac{EF}{FG}$
$\cos(40^\circ) = \frac{EF}{7} \Rightarrow EF = 7 \times \cos(40^\circ)$
$\mathbf{EF \approx 5,36 \text{ cm}}$ (soit 54 mm).
Exercice 3 : Déterminer un angle
NIVEAU 2
Dans un triangle $MNP$ rectangle en $M$, on donne $MN = 4$ et $MP = 3$.
Déterminer la mesure de l'angle $\hat{N}$ à un degré près.
Par rapport à l'angle $\hat{N}$, $MP$ est le côté opposé et $MN$ est le côté adjacent.
On utilise la Tangente : $\tan(\hat{N}) = \frac{MP}{MN} = \frac{3}{4} = 0,75$.
À l'aide de la calculatrice ($\arctan$ ou $\tan^{-1}$) : $\mathbf{\hat{N} \approx 37^\circ}$.
Exercice 4 : Relations trigonométriques
NIVEAU 2
Soit $\alpha$ un angle aigu tel que $\cos(\alpha) = 0,6$.
Sans calculer l'angle $\alpha$, déterminer les valeurs de $\sin(\alpha)$ et $\tan(\alpha)$.
1. On utilise $\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1$ :
$(0,6)^2 + \sin^2(\alpha) = 1 \Rightarrow 0,36 + \sin^2(\alpha) = 1$
$\sin^2(\alpha) = 1 - 0,36 = 0,64 \Rightarrow \sin(\alpha) = \sqrt{0,64} = \mathbf{0,8}$.
2. On utilise $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$ :
$\tan(\alpha) = \frac{0,8}{0,6} = \mathbf{\frac{4}{3} \approx 1,33}$.
Exercice 5 : Angles complémentaires
NIVEAU 3
Simplifier l'expression suivante :
$X = \sin^2(20^\circ) + \sin^2(70^\circ) - \tan(10^\circ) \times \tan(80^\circ)$
On sait que si $\alpha + \beta = 90^\circ$ alors $\sin(\alpha) = \cos(\beta)$ et $\tan(\alpha) = \frac{1}{\tan(\beta)}$.
1. $\sin(70^\circ) = \cos(20^\circ)$ car $70+20=90$.
2. $\tan(80^\circ) = \frac{1}{\tan(10^\circ)}$ car $80+10=90$.
L'expression devient :
$X = \sin^2(20^\circ) + \cos^2(20^\circ) - \tan(10^\circ) \times \frac{1}{\tan(10^\circ)}$
$X = 1 - 1 = \mathbf{0}$.
Exercice 6 : Problème concret
EXAMEN
Un skieur descend une pente de $200$ mètres de long. Le point de départ est situé à $50$ mètres de hauteur par rapport au point d'arrivée.
Calculer l'angle que fait la pente avec l'horizontale.
Considérons un triangle rectangle où :
- L'hypoténuse est la pente ($200$ m).
- Le côté opposé à l'angle cherché est la hauteur ($50$ m).
On utilise le Sinus : $\sin(\alpha) = \frac{50}{200} = 0,25$.
À la calculatrice : $\alpha = \arcsin(0,25) \approx \mathbf{14,47^\circ}$.