Ordre et Opérations sakwilatop

Mathématiques3ème Année Collège

Ordre et Opérations

Objectifs pédagogiques

• ●Savoir comparer deux nombres réels en étudiant le signe de leur différence.
• ●Maîtriser les propriétés de conservation ou de changement d'ordre lors des opérations (addition, multiplication, passage à l'inverse).
• ●Savoir encadrer une somme, une différence, un produit et un quotient de nombres réels.
• ●Utiliser l'ordre pour résoudre des problèmes d'approximation.

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Introduction

La leçon « Ordre et Opérations » est fondamentale en mathématiques au niveau de la 3ème année collégiale. Elle permet aux élèves de comparer des nombres réels sans nécessairement calculer leur valeur exacte, de manipuler des inégalités et d'effectuer des encadrements. Ces compétences sont essentielles pour l'étude des fonctions, la résolution d'inéquations et le calcul approché.

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I. Comparaison de deux nombres réels

La méthode générale pour comparer deux nombres réels consiste à étudier le signe de leur différence.

Définition :

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels.

- Si $a-b\le 0$, alors $a\le b$.

- Si $a-b\ge 0$, alors $a\ge b$.

Exemple :

Pour comparer $x^2+1$ et $2x$, on calcule la différence : $(x^2+1)-2x=(x-1{)}^2$. Comme un carré est toujours positif ou nul, $(x-1{)}^2\ge 0$, donc $x^2+1\ge 2x$.

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II. Ordre et Opérations

Les opérations arithmétiques agissent différemment sur les inégalités.

1. Ordre et Addition :

L'addition conserve l'ordre. Pour tous nombres réels $a$, $b$ et $c$ :

$$a\le b⟹a+c\le b+c$$

De même, on peut additionner deux inégalités membre à membre. Si $a\le b$ et $c\le d$, alors $a+c\le b+d$.

2. Ordre et Multiplication :

L'effet de la multiplication dépend du signe du facteur.

- Si on multiplie par un nombre strictement positif, l'ordre est conservé :

$$\text{Si }c>0\text{ et }a\le b⟹ac\le bc$$

- Si on multiplie par un nombre strictement négatif, l'ordre est inversé :

$$\text{Si }c<0\text{ et }a\le b⟹ac\ge bc$$

3. Ordre et Inverse :

Pour deux nombres de même signe strictement positifs, le passage à l'inverse change l'ordre :

$$\text{Si }0<a\le b⟹\frac{1}{a}\ge \frac{1}{b}$$

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III. Encadrement (Framing)

Encadrer un nombre réel $x$, c'est trouver deux réels $a$ et $b$ tels que $a\le x\le b$. Le nombre $b-a$ est l'amplitude de l'encadrement.

Opérations sur les encadrements :

Soient $a\le x\le b$ et $c\le y\le d$.

- Somme : On additionne les bornes : $a+c\le x+y\le b+d$.

- Opposé : Pour encadrer $-x$, on multiplie par $-1$ et on inverse l'ordre : $-b\le -x\le -a$.

- Différence : Pour encadrer $x-y$, on écrit $x+(-y)$. Il faut d'abord encadrer $-y$, puis l'ajouter à $x$.

- Produit : Si tous les nombres sont positifs ($a,c>0$), alors $ac\le xy\le bd$. Si des bornes sont négatives, il faut se ramener au cas positif via les opposés.

Conclusion générale

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