امتحان النخبة الذهبية: المعادلات - @sakwilatop
المملكة المغربية
أكاديمية التميز والابتكار
المادة: الرياضيات (BIOF)
امتحان النخبة الذهبية
درس المعادلات - المستوى الأقصى
GOLDEN ELITE LEVELالمستوى: الأولى إعدادي
الموسم:2026 / 2025
المدة: 1 ساعة
التمرين الأول: تحدي توحيد المقام والإشارات
7 ن
حل المعادلات التالية بتركيز عالٍ (Résoudre مع توضيح مراحل الحل) :
1) \( \frac{3x - 1}{2} - \frac{x + 4}{3} = \frac{5x + 2}{6} \)
كشف خطوات الحل (احذر من فخ علامة الناقص قبل الكسر)
- نوحد المقام على 6:
\( \frac{3(3x - 1)}{6} - \frac{2(x + 4)}{6} = \frac{5x + 2}{6} \)
- نحذف المقام وننشر (انتبه: علامة - تغير إشارة جميع حدود البسط الثاني):
\( 9x - 3 - 2x - 8 = 5x + 2 \)
- نبسط: \( 7x - 11 = 5x + 2 \)
- نجمع المجاهيل: \( 7x - 5x = 2 + 11 \implies 2x = 13 \).
- إذن: **\( x = \frac{13}{2} = 6.5 \)**.
\( \frac{3(3x - 1)}{6} - \frac{2(x + 4)}{6} = \frac{5x + 2}{6} \)
- نحذف المقام وننشر (انتبه: علامة - تغير إشارة جميع حدود البسط الثاني):
\( 9x - 3 - 2x - 8 = 5x + 2 \)
- نبسط: \( 7x - 11 = 5x + 2 \)
- نجمع المجاهيل: \( 7x - 5x = 2 + 11 \implies 2x = 13 \).
- إذن: **\( x = \frac{13}{2} = 6.5 \)**.
2) \( (2x - 3)^2 = (2x - 3)(x + 5) \)
كشف سر الحل (لا تنشر! استخدم التعميل)
- ننقل كل شيء لطرف واحد: \( (2x - 3)^2 - (2x - 3)(x + 5) = 0 \)
- نلاحظ وجود عامل مشترك هو \( (2x - 3) \):
\( (2x - 3) [ (2x - 3) - (x + 5) ] = 0 \)
- نبسط ما بداخل المعقوفتين: \( (2x - 3) [ 2x - 3 - x - 5 ] = 0 \)
\( (2x - 3)(x - 8) = 0 \)
- إذن: \( 2x - 3 = 0 \) أو \( x - 8 = 0 \).
- الحلول هي: **\( x = 1.5 \)** و **\( x = 8 \)**.
- نلاحظ وجود عامل مشترك هو \( (2x - 3) \):
\( (2x - 3) [ (2x - 3) - (x + 5) ] = 0 \)
- نبسط ما بداخل المعقوفتين: \( (2x - 3) [ 2x - 3 - x - 5 ] = 0 \)
\( (2x - 3)(x - 8) = 0 \)
- إذن: \( 2x - 3 = 0 \) أو \( x - 8 = 0 \).
- الحلول هي: **\( x = 1.5 \)** و **\( x = 8 \)**.
التمرين الثاني: وضع مسألة في معادلة (تفكير نقدي)
7 ن
نص المسألة:
"عمر أب الآن هو **40 سنة**، وعمر ابنه هو **10 سنوات**. بعد كم سنة سيصبح عمر الأب **ثلاثة أضعاف** عمر الابن؟"
كشف الحل المنظم بالخطوات
- **اختيار المجهول:** ليكن \( x \) هو عدد السنوات المطلوبة.
- بعد \( x \) سنة، عمر الأب سيكون: \( 40 + x \).
- بعد \( x \) سنة، عمر الابن سيكون: \( 10 + x \).
- **صياغة المعادلة:** \( 40 + x = 3(10 + x) \).
- **حل المعادلة:** \( 40 + x = 30 + 3x \implies 40 - 30 = 3x - x \implies 10 = 2x \).
- إذن: \( x = 5 \).
- **النتيجة:** بعد **5 سنوات** (سيصبح عمر الأب 45 والابن 15، و 45 هي 3 أضعاف 15).
- بعد \( x \) سنة، عمر الأب سيكون: \( 40 + x \).
- بعد \( x \) سنة، عمر الابن سيكون: \( 10 + x \).
- **صياغة المعادلة:** \( 40 + x = 3(10 + x) \).
- **حل المعادلة:** \( 40 + x = 30 + 3x \implies 40 - 30 = 3x - x \implies 10 = 2x \).
- إذن: \( x = 5 \).
- **النتيجة:** بعد **5 سنوات** (سيصبح عمر الأب 45 والابن 15، و 45 هي 3 أضعاف 15).
التمرين الثالث: تحدي العباقرة (Bonus)
6 ن
حل المعادلة التالية التي تتضمن قيمة مطلقة (للأذكياء فقط):
\( |x - 5| = 3 \)
كشف البرهان المنطقي
- القيمة المطلقة تعني أن ما بداخلها قد يكون موجباً أو سالباً.
- الحالة 1: \( x - 5 = 3 \implies x = 8 \).
- الحالة 2: \( x - 5 = -3 \implies x = 2 \).
- إذن للمعادلة حلان هما: **2** و **8**.
- الحالة 1: \( x - 5 = 3 \implies x = 8 \).
- الحالة 2: \( x - 5 = -3 \implies x = 2 \).
- إذن للمعادلة حلان هما: **2** و **8**.
"الرياضيات هي ملكة العلوم.. وأنت الآن أحد فرسانها."
Content by @sakwilatop