امتحان النخبة الذهبية: الجذور - @sakwilatop
المملكة المغربية
أكاديمية التميز الرياضي
المادة: الرياضيات (BIOF)
امتحان النخبة الذهبية
الجذور التربيعية - المستوى الأقصى
GOLDEN OLIMPIAD LEVELالمستوى: الثالثة إعدادي
الموسم: 2025 / 2026
المدة: 1 ساعة
التمرين الأول: تحدي الجذور المتداخلة
6 ن
احسب القيمة العددية للتعبير \( X \) (بدون آلة حاسبة):
\( X = \sqrt{17 - 12\sqrt{2}} + \sqrt{17 + 12\sqrt{2}} \)
كشف سر الحل (المتطابقة المخفية)
- نلاحظ أن: \( 17 - 12\sqrt{2} = 9 + 8 - 12\sqrt{2} = 3^2 + (2\sqrt{2})^2 - 2(3)(2\sqrt{2}) \)
- إذن: \( 17 - 12\sqrt{2} = (3 - 2\sqrt{2})^2 \)
- وبنفس الطريقة: \( 17 + 12\sqrt{2} = (3 + 2\sqrt{2})^2 \)
- نعوض في التعبير: \( X = \sqrt{(3 - 2\sqrt{2})^2} + \sqrt{(3 + 2\sqrt{2})^2} \)
- \( X = |3 - 2\sqrt{2}| + |3 + 2\sqrt{2}| \)
- بما أن \( 3 > 2\sqrt{2} \) (لأن \( 9 > 8 \))، فإن النتيجة:
\( X = (3 - 2\sqrt{2}) + (3 + 2\sqrt{2}) = 6 \).
إذن النتيجة النهائية هي: **6**.
- إذن: \( 17 - 12\sqrt{2} = (3 - 2\sqrt{2})^2 \)
- وبنفس الطريقة: \( 17 + 12\sqrt{2} = (3 + 2\sqrt{2})^2 \)
- نعوض في التعبير: \( X = \sqrt{(3 - 2\sqrt{2})^2} + \sqrt{(3 + 2\sqrt{2})^2} \)
- \( X = |3 - 2\sqrt{2}| + |3 + 2\sqrt{2}| \)
- بما أن \( 3 > 2\sqrt{2} \) (لأن \( 9 > 8 \))، فإن النتيجة:
\( X = (3 - 2\sqrt{2}) + (3 + 2\sqrt{2}) = 6 \).
إذن النتيجة النهائية هي: **6**.
التمرين الثاني: تبسيط الكسور المركبة
5 ن
بسط التعبير \( Y \) إلى أقصى حد:
\( Y = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} \)
كشف الحل (توحيد المقام)
- نوحد المقام باستخدام المتطابقة 3: \( (\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3}) = 5 - 3 = 2 \)
- البسط يصبح: \( (\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 + (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 \)
- ننشر البسط: \( (5 - 2\sqrt{15} + 3) + (5 + 2\sqrt{15} + 3) = 8 + 8 = 16 \)
- النتيجة: \( Y = \frac{16}{2} = 8 \).
إذن: **\( Y = 8 \)**.
- البسط يصبح: \( (\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 + (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 \)
- ننشر البسط: \( (5 - 2\sqrt{15} + 3) + (5 + 2\sqrt{15} + 3) = 8 + 8 = 16 \)
- النتيجة: \( Y = \frac{16}{2} = 8 \).
إذن: **\( Y = 8 \)**.
التمرين الثالث: معادلات غير اعتيادية
5 ن
أوجد جميع الحلول الممكنة للمعادلة التالية:
\( \sqrt{x^2 - 6x + 9} = 5 \)
كشف خطوات الحل
- نلاحظ أن ما تحت الجذر متطابقة هامة: \( x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 \)
- المعادلة تصبح: \( \sqrt{(x - 3)^2} = 5 \)
- نعلم أن \( \sqrt{a^2} = |a| \)، إذن: \( |x - 3| = 5 \)
- هذا يعني حالتين:
1) \( x - 3 = 5 \implies x = 8 \)
2) \( x - 3 = -5 \implies x = -2 \)
إذن الحلول هي: **8** و **-2**.
- المعادلة تصبح: \( \sqrt{(x - 3)^2} = 5 \)
- نعلم أن \( \sqrt{a^2} = |a| \)، إذن: \( |x - 3| = 5 \)
- هذا يعني حالتين:
1) \( x - 3 = 5 \implies x = 8 \)
2) \( x - 3 = -5 \implies x = -2 \)
إذن الحلول هي: **8** و **-2**.
التمرين الرابع: التحدي النهائي (The Ultimate Proof)
4 ن
بدون حساب، قارن بين العددين \( A \) و \( B \) مع التعليل:
\( A = \sqrt{2024} + \sqrt{2026} \) و \( B = 2\sqrt{2025} \)
كشف البرهان العبقري
- لنقارن مربعيهما:
- \( B^2 = (2\sqrt{2025})^2 = 4 \times 2025 = 8100 \)
- \( A^2 = (\sqrt{2024} + \sqrt{2026})^2 = 2024 + 2026 + 2\sqrt{2024 \times 2026} \)
- \( A^2 = 4050 + 2\sqrt{(2025 - 1)(2025 + 1)} = 4050 + 2\sqrt{2025^2 - 1} \)
- نلاحظ أن \( \sqrt{2025^2 - 1} < \sqrt{2025^2} \)، أي أن \( \sqrt{2025^2 - 1} < 2025 \)
- إذن: \( A^2 < 4050 + 2(2025) \implies A^2 < 4050 + 4050 \implies A^2 < 8100 \)
- بما أن \( A^2 < B^2 \)، فإن: **\( A < B \)**.
- \( B^2 = (2\sqrt{2025})^2 = 4 \times 2025 = 8100 \)
- \( A^2 = (\sqrt{2024} + \sqrt{2026})^2 = 2024 + 2026 + 2\sqrt{2024 \times 2026} \)
- \( A^2 = 4050 + 2\sqrt{(2025 - 1)(2025 + 1)} = 4050 + 2\sqrt{2025^2 - 1} \)
- نلاحظ أن \( \sqrt{2025^2 - 1} < \sqrt{2025^2} \)، أي أن \( \sqrt{2025^2 - 1} < 2025 \)
- إذن: \( A^2 < 4050 + 2(2025) \implies A^2 < 4050 + 4050 \implies A^2 < 8100 \)
- بما أن \( A^2 < B^2 \)، فإن: **\( A < B \)**.