امتحان النخبة الذهبية: القوى - @sakwilatop
المملكة المغربية
إعدادية النخبة والتميز
المادة: الرياضيات (BIOF)
امتحان النخبة الذهبية
درس القوى - Niveau Expert
GOLDEN POWER EXAMالمستوى: الأولى إعدادي
الموسم: 2025 / 2026
المدة: 1 ساعة
التمرين الأول: الإشارات والحساب (Calculs)
5 ن
1) حدد إشارة القوى التالية مع التعليل (Déterminer le signe) :
\( (-2024)^{2025} \)
كشف التعليل
سالبة (-) لأن الأساس سالب والأس فردي.
\( -(-5)^{2024} \)
كشف التعليل
سالبة (-) لأن القوة داخل القوس موجبة (أس زوجي) ومسبوقة بعلامة ناقص خارج القوس.
2) احسب القيمة العددية لـ \( X \):
\( X = (-1)^{100} + (-1)^{101} + (-2)^3 + 2^3 \)
كشف الحل
\( X = (1) + (-1) + (-8) + (8) \)
\( X = 0 + 0 = 0 \)
\( X = 0 + 0 = 0 \)
التمرين الثاني: التبسيط العميق (Simplification)
7 ن
اكتب على شكل قوة واحدة أو بسط إلى أقصى حد:
\( A = \frac{2^5 \times 3^4 \times 10^{-2}}{6^3 \times 5^{-2}} \)
كشف سر الحل (تفكيك القواعد)
- نفكك الأعداد: \( 10^{-2} = (2 \times 5)^{-2} = 2^{-2} \times 5^{-2} \)
- نفكك المقام: \( 6^3 = (2 \times 3)^3 = 2^3 \times 3^3 \)
- نعوض: \( A = \frac{2^5 \times 3^4 \times 2^{-2} \times 5^{-2}}{2^3 \times 3^3 \times 5^{-2}} \)
- نجمع أسس البسط: \( A = \frac{2^3 \times 3^4 \times 5^{-2}}{2^3 \times 3^3 \times 5^{-2}} \)
- نختزل: \( A = 3^{4-3} = 3^1 = 3 \).
- نفكك المقام: \( 6^3 = (2 \times 3)^3 = 2^3 \times 3^3 \)
- نعوض: \( A = \frac{2^5 \times 3^4 \times 2^{-2} \times 5^{-2}}{2^3 \times 3^3 \times 5^{-2}} \)
- نجمع أسس البسط: \( A = \frac{2^3 \times 3^4 \times 5^{-2}}{2^3 \times 3^3 \times 5^{-2}} \)
- نختزل: \( A = 3^{4-3} = 3^1 = 3 \).
\( B = \frac{(a^2 \times b^{-3})^4 \times a}{a^5 \times b^{-12}} \)
كشف الحل
- نبسط البسط: \( (a^8 \times b^{-12}) \times a = a^9 \times b^{-12} \)
- نقسم على المقام: \( \frac{a^9 \times b^{-12}}{a^5 \times b^{-12}} = a^{9-5} \times b^{-12 - (-12)} \)
- النتيجة: **\( a^4 \times b^0 = a^4 \)**.
- نقسم على المقام: \( \frac{a^9 \times b^{-12}}{a^5 \times b^{-12}} = a^{9-5} \times b^{-12 - (-12)} \)
- النتيجة: **\( a^4 \times b^0 = a^4 \)**.
التمرين الثالث: الكتابة العلمية (Ecriture Scientifique)
4 ن
أعط الكتابة العلمية للتعبير \( C \):
\( C = 0,000045 \times 10^7 + 2,5 \times 10^2 \)
كشف مراحل الحل
- نحول الجزء الأول: \( 0,000045 \times 10^7 = 4,5 \times 10^{-5} \times 10^7 = 4,5 \times 10^2 \)
- نجمع: \( C = (4,5 \times 10^2) + (2,5 \times 10^2) \)
- نعمل بـ \( 10^2 \): \( C = (4,5 + 2,5) \times 10^2 = 7 \times 10^2 \)
- النتيجة: **\( 7 \times 10^2 \)**.
- نجمع: \( C = (4,5 \times 10^2) + (2,5 \times 10^2) \)
- نعمل بـ \( 10^2 \): \( C = (4,5 + 2,5) \times 10^2 = 7 \times 10^2 \)
- النتيجة: **\( 7 \times 10^2 \)**.
التمرين الرابع: تحدي العباقرة (Challenge)
4 ن
بدون حساب القيمة العددية، قارن بين العددين التاليين مع التعليل:
\( 2^{33} \) و \( 3^{22} \)
كشف طريقة المقارنة الذكية
- نلاحظ أن الأسس \( 33 \) و \( 22 \) من مضاعفات \( 11 \).
- نكتب العدد الأول: \( 2^{33} = 2^{3 \times 11} = (2^3)^{11} = 8^{11} \)
- نكتب العدد الثاني: \( 3^{22} = 3^{2 \times 11} = (3^2)^{11} = 9^{11} \)
- بما أن \( 9 > 8 \)، فإن \( 9^{11} > 8^{11} \).
- إذن: **\( 3^{22} > 2^{33} \)**.
- نكتب العدد الأول: \( 2^{33} = 2^{3 \times 11} = (2^3)^{11} = 8^{11} \)
- نكتب العدد الثاني: \( 3^{22} = 3^{2 \times 11} = (3^2)^{11} = 9^{11} \)
- بما أن \( 9 > 8 \)، فإن \( 9^{11} > 8^{11} \).
- إذن: **\( 3^{22} > 2^{33} \)**.