امتحان النخبة - الرياضيات - @sakwilatop
المملكة المغربية
وزارة التربية الوطنية والتعليم الأولي
إعدادية: .........................
امتحان التميز والذكاء
الفرض المحروس الثاني (الدورة 1)
NIVEAU EXPERTالمادة: الرياضيات
المستوى: الأولى إعدادي (BIOF)
مدة الإنجاز: 1 ساعة
التمرين الأول: المعادلات الكسرية المعقدة
6 ن
حل المعادلات التالية بدقة (Résoudre avec précision) :
1) \( \frac{2x - 1}{3} - \frac{x + 2}{4} = \frac{5}{12} \)
كشف خطوات الحل (التحدي في توحيد المقام)
- نوحد المقامات على 12:
\( \frac{4(2x - 1)}{12} - \frac{3(x + 2)}{12} = \frac{5}{12} \)
- نحذف المقام وننتبه لتوزيع علامة (-) :
\( 8x - 4 - 3x - 6 = 5 \)
- نجمع المجاهيل: \( 5x - 10 = 5 \implies 5x = 15 \implies x = 3 \).
إذن حل المعادلة هو **3**.
\( \frac{4(2x - 1)}{12} - \frac{3(x + 2)}{12} = \frac{5}{12} \)
- نحذف المقام وننتبه لتوزيع علامة (-) :
\( 8x - 4 - 3x - 6 = 5 \)
- نجمع المجاهيل: \( 5x - 10 = 5 \implies 5x = 15 \implies x = 3 \).
إذن حل المعادلة هو **3**.
2) \( (x + 3)^2 - (x + 3)(x - 5) = 0 \)
كشف سر الحل (التعميل قبل الحل)
- نلاحظ وجود عامل مشترك هو \( (x+3) \):
\( (x + 3) [ (x + 3) - (x - 5) ] = 0 \)
\( (x + 3) [ x + 3 - x + 5 ] = 0 \implies (x + 3)(8) = 0 \)
- بما أن \( 8 \neq 0 \)، فإن \( x + 3 = 0 \).
إذن: **\( x = -3 \)**.
\( (x + 3) [ (x + 3) - (x - 5) ] = 0 \)
\( (x + 3) [ x + 3 - x + 5 ] = 0 \implies (x + 3)(8) = 0 \)
- بما أن \( 8 \neq 0 \)، فإن \( x + 3 = 0 \).
إذن: **\( x = -3 \)**.
التمرين الثاني: النشر والتعميل (تطبيقات عليا)
5 ن
1) انشر وبسط التعبير \( P \) (انتبه للأقواس المتداخلة):
\( P = (3x - 2)(3x + 2) - [ (2x - 5)^2 + 5x^2 ] \)
كشف الحل التفصيلي
- الجزء الأول متطابقة هامة: \( 9x^2 - 4 \)
- الجزء الثاني داخل المعقوفتين: \( (4x^2 - 20x + 25) + 5x^2 = 9x^2 - 20x + 25 \)
- نطرح التعبيرين: \( (9x^2 - 4) - (9x^2 - 20x + 25) \)
- النتيجة النهائية: \( 9x^2 - 4 - 9x^2 + 20x - 25 = 20x - 29 \).
- الجزء الثاني داخل المعقوفتين: \( (4x^2 - 20x + 25) + 5x^2 = 9x^2 - 20x + 25 \)
- نطرح التعبيرين: \( (9x^2 - 4) - (9x^2 - 20x + 25) \)
- النتيجة النهائية: \( 9x^2 - 4 - 9x^2 + 20x - 25 = 20x - 29 \).
التمرين الثالث: الجبر في خدمة الهندسة (مسألة)
5 ن
"مستطيل طوله هو **ثلاثة أضعاف** عرضه. إذا علمنا أن محيطه يساوي \( 48cm \)، فما هو طوله وعرضه؟"
كشف طريقة الصياغة والحل
- نضع \( x \) هو العرض. إذن الطول هو \( 3x \).
- قاعدة المحيط: \( 2 \times (الطول + العرض) = 48 \)
- المعادلة: \( 2(3x + x) = 48 \implies 2(4x) = 48 \implies 8x = 48 \)
- الحل: \( x = \frac{48}{8} = 6 \).
- إذن: **العرض هو \( 6cm \)** و **الطول هو \( 18cm \)**.
- قاعدة المحيط: \( 2 \times (الطول + العرض) = 48 \)
- المعادلة: \( 2(3x + x) = 48 \implies 2(4x) = 48 \implies 8x = 48 \)
- الحل: \( x = \frac{48}{8} = 6 \).
- إذن: **العرض هو \( 6cm \)** و **الطول هو \( 18cm \)**.
التمرين الرابع: الهندسة (الاستدلال المنطقي)
4 ن
1) أرسم مثلثاً \( ABC \) قائماً في \( A \).
2) أنشئ \( O \) منتصف الوتر \( [BC] \).
3) **برهن** أن النقطة \( O \) هي مركز الدائرة المحيطة بالمثلث \( ABC \).
كشف البرهان الكامل
- في مثلث قائم الزاوية، نعلم أن طول المتوسط المتعلق بالوتر يساوي نصف طول الوتر.
- بما أن \( O \) منتصف \( [BC] \)، فإن القطعة \( [AO] \) هي المتوسط المتعلق بالوتر.
- إذن: \( AO = \frac{BC}{2} \).
- وبما أن \( O \) منتصف \( [BC] \)، فإن \( OB = OC = \frac{BC}{2} \).
- نستنتج أن: \( OA = OB = OC \).
- إذن النقطة \( O \) تبعد بنفس المسافة عن رؤوس المثلث، فهي **مركز الدائرة المحيطة**.
- بما أن \( O \) منتصف \( [BC] \)، فإن القطعة \( [AO] \) هي المتوسط المتعلق بالوتر.
- إذن: \( AO = \frac{BC}{2} \).
- وبما أن \( O \) منتصف \( [BC] \)، فإن \( OB = OC = \frac{BC}{2} \).
- نستنتج أن: \( OA = OB = OC \).
- إذن النقطة \( O \) تبعد بنفس المسافة عن رؤوس المثلث، فهي **مركز الدائرة المحيطة**.
"الرياضيات هي ملكة العلوم.. والتميز هو هدفنا."
قناة @sakwilatop - رفيقكم نحو النجاح