امتحان النخبة الذهبية: النشر والتعميل - @sakwilatop
المملكة المغربية
إعدادية التميز الدولية
المادة: الرياضيات (BIOF)
امتحان النخبة الذهبية
النشر والتعميل - المستوى المتقدم
GOLDEN ELITE EXAMالمستوى: 1 APIC / 2 APIC
الموسم: 2025 / 2026
مدة الإنجاز: 1 ساعة
التمرين الأول: النشر والتبسيط (Développement)
6 ن
انشر وبسط التعبيرين التاليين بأقصى قدر من الدقة:
\( A = (3x - 2)(3x + 2) - (2x - 5)^2 - 5x^2 \)
كشف خطوات الحل (احذر من علامة الناقص قبل القوس)
- الجزء الأول (متطابقة 3): \( (3x)^2 - 2^2 = 9x^2 - 4 \)
- الجزء الثاني (متطابقة 2): \( (2x)^2 - 2(2x)(5) + 5^2 = 4x^2 - 20x + 25 \)
- نعوض في التعبير مع تغيير الإشارات:
\( A = (9x^2 - 4) - (4x^2 - 20x + 25) - 5x^2 \)
\( A = 9x^2 - 4 - 4x^2 + 20x - 25 - 5x^2 \)
- النتيجة النهائية: **\( A = 20x - 29 \)**
- الجزء الثاني (متطابقة 2): \( (2x)^2 - 2(2x)(5) + 5^2 = 4x^2 - 20x + 25 \)
- نعوض في التعبير مع تغيير الإشارات:
\( A = (9x^2 - 4) - (4x^2 - 20x + 25) - 5x^2 \)
\( A = 9x^2 - 4 - 4x^2 + 20x - 25 - 5x^2 \)
- النتيجة النهائية: **\( A = 20x - 29 \)**
\( B = 2x(x - 3)(x + 3) - (x + 1)(2x^2 - 4) \)
كشف مراحل الحل
- نبسط الجزء الأول: \( 2x(x^2 - 9) = 2x^3 - 18x \)
- ننشر الجزء الثاني: \( (x \times 2x^2) + (x \times -4) + (1 \times 2x^2) + (1 \times -4) = 2x^3 - 4x + 2x^2 - 4 \)
- نجمع التعبيرين: \( (2x^3 - 18x) - (2x^3 + 2x^2 - 4x - 4) \)
- النتيجة النهائية: **\( B = -2x^2 - 14x + 4 \)**
- ننشر الجزء الثاني: \( (x \times 2x^2) + (x \times -4) + (1 \times 2x^2) + (1 \times -4) = 2x^3 - 4x + 2x^2 - 4 \)
- نجمع التعبيرين: \( (2x^3 - 18x) - (2x^3 + 2x^2 - 4x - 4) \)
- النتيجة النهائية: **\( B = -2x^2 - 14x + 4 \)**
التمرين الثاني: التعميل (Factorisation)
7 ن
عمل التعبيرات التالية (ابحث عن العامل المشترك الخفي):
\( C = (2x - 3)(x + 5) - (4x - 6)(2x - 1) \)
كشف سر الحل
- نلاحظ أن: \( 4x - 6 = 2(2x - 3) \)
- نعوض: \( C = (2x - 3)(x + 5) - 2(2x - 3)(2x - 1) \)
- العامل المشترك هو \( (2x - 3) \):
\( C = (2x - 3) [ (x + 5) - 2(2x - 1) ] \)
\( C = (2x - 3) [ x + 5 - 4x + 2 ] \)
- النتيجة النهائية: **\( C = (2x - 3)(-3x + 7) \)**
- نعوض: \( C = (2x - 3)(x + 5) - 2(2x - 3)(2x - 1) \)
- العامل المشترك هو \( (2x - 3) \):
\( C = (2x - 3) [ (x + 5) - 2(2x - 1) ] \)
\( C = (2x - 3) [ x + 5 - 4x + 2 ] \)
- النتيجة النهائية: **\( C = (2x - 3)(-3x + 7) \)**
\( D = x^2 - 10x + 25 + (x - 5)(3x + 2) \)
كشف الحل (استخدم المتطابقة أولاً)
- نلاحظ أن \( x^2 - 10x + 25 \) هي المتطابقة الهامة الثانية: \( (x - 5)^2 \)
- نعوض: \( D = (x - 5)^2 + (x - 5)(3x + 2) \)
- العامل المشترك هو \( (x - 5) \):
\( D = (x - 5) [ (x - 5) + (3x + 2) ] \)
- النتيجة النهائية: **\( D = (x - 5)(4x - 3) \)**
- نعوض: \( D = (x - 5)^2 + (x - 5)(3x + 2) \)
- العامل المشترك هو \( (x - 5) \):
\( D = (x - 5) [ (x - 5) + (3x + 2) ] \)
- النتيجة النهائية: **\( D = (x - 5)(4x - 3) \)**
التمرين الثالث: التحدي (The Golden Challenge)
7 ن
مسألة هندسية-جبرية:
ليكن \( n \) عدداً صحيحاً طبيعياً. نعتبر مربعاً طول ضلعه \( (n + 3) \) ومستطيلاً طوله \( (n + 5) \) وعرضه \( (n + 1) \).
1) عبر عن مساحة المربع \( S_1 \) ومساحة المستطيل \( S_2 \) بدلالة \( n \).
2) **برهن** أن مساحة المربع دائماً **أكبر** من مساحة المستطيل بـ 4 وحدات مساحة مهما كانت قيمة \( n \).
كشف البرهان الرياضي
- مساحة المربع: \( S_1 = (n + 3)^2 = n^2 + 6n + 9 \)
- مساحة المستطيل: \( S_2 = (n + 5)(n + 1) = n^2 + n + 5n + 5 = n^2 + 6n + 5 \)
- لنحسب الفرق بينهما: \( S_1 - S_2 = (n^2 + 6n + 9) - (n^2 + 6n + 5) \)
- النتيجة: \( S_1 - S_2 = 9 - 5 = 4 \).
- إذن فعلاً: مساحة المربع تزيد عن مساحة المستطيل بـ 4 وحدات دائماً.
- مساحة المستطيل: \( S_2 = (n + 5)(n + 1) = n^2 + n + 5n + 5 = n^2 + 6n + 5 \)
- لنحسب الفرق بينهما: \( S_1 - S_2 = (n^2 + 6n + 9) - (n^2 + 6n + 5) \)
- النتيجة: \( S_1 - S_2 = 9 - 5 = 4 \).
- إذن فعلاً: مساحة المربع تزيد عن مساحة المستطيل بـ 4 وحدات دائماً.
"الرياضيات تصنع العباقرة.. وأنت واحد منهم."
DESIGNED FOR EXCELLENCE BY @sakwilatop