Série 20 Exercices : Continuité & Dérivabilité - @sakwilatop
Soit $f$ définie par : $f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$ si $x \neq 2$ et $f(2) = 4$. Étudier la continuité de $f$ en 2.
Comme $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2) = 4$, alors $f$ est continue en 2.
Déterminer la valeur de $a$ pour que $f$ soit continue en 0 : $f(x) = \frac{\sin(ax)}{x}$ si $x \neq 0$ et $f(0) = 3$.
Pour que $f$ soit continue, il faut que $a = f(0) = 3$. Donc $a=3$.
Soit $f(x) = |x-1|$. Étudier la continuité de $f$ en 1.
$\lim_{x \to 1^+} |x-1| = 0$ et $\lim_{x \to 1^-} |x-1| = 0$.
Les limites à gauche et à droite sont égales à $f(1)$, donc $f$ est continue en 1.
Soit $g(x) = \frac{\sqrt{x+1}-1}{x}$. Peut-on prolonger $g$ par continuité en 0 ?
Oui, on peut prolonger $g$ en posant $g(0) = 1/2$.
Montrer que l'équation $x^3 + x - 1 = 0$ admet au moins une solution dans $[0, 1]$.
$f$ est continue sur $[0, 1]$.
$f(0) = -1$ et $f(1) = 1$.
Comme $f(0) \times f(1) < 0$, daprès le TVI, il existe $\alpha \in ]0, 1[$ tel que $f(\alpha) = 0$.
Étudier la dérivabilité de $f(x) = x^2$ en $x_0 = 2$.
La limite est finie (4), donc $f$ est dérivable en 2 et $f'(2)=4$.
Donner l'équation de la tangente à $C_f$ au point d'abscisse 1 pour $f(x) = \frac{1}{x}$.
$(T): y = f'(1)(x-1) + f(1) = -1(x-1) + 1 = -x + 2$.
Calculer la dérivée de $f(x) = (3x^2 + 1)^5$.
$u = 3x^2+1 \implies u' = 6x$.
$f'(x) = 5 \cdot (6x) \cdot (3x^2+1)^4 = 30x(3x^2+1)^4$.
Étudier la dérivabilité de $f(x) = |x|$ en 0.
Les dérivées à gauche et à droite sont différentes, donc $f$ n'est pas dérivable en 0.
Montrer que $x^3+x-1=0$ admet une unique solution sur $\mathbb{R}$.
$f$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.
D'après le TVI (bijection), l'équation admet une unique solution $\alpha \in \mathbb{R}$.
Calculer $f'(x)$ pour $f(x) = \sqrt{x^2+x+1}$.
$u = x^2+x+1 \implies u' = 2x+1$.
$f'(x) = \frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}}$.
Étudier la continuité de $h(x) = \cos(\frac{1}{x})$ en tout point $x \neq 0$.
$X \mapsto \cos(X)$ est continue sur $\mathbb{R}$.
Par composition, $h$ est continue sur $\mathbb{R}^*$.
Calculer $f'(x)$ pour $f(x) = x^2 \sin(x)$.
$f'(x) = 2x \sin(x) + x^2 \cos(x)$.
Soit $f(x) = x^2-3$. Montrer que $f(x)=0$ a une solution dans $[1, 2]$.
$f$ est continue sur $[1, 2]$ and $f(1) \times f(2) < 0$.
D'après le TVI, il existe $\alpha \in ]1, 2[$ tel que $f(\alpha)=0$.
Calculer $f'(x)$ pour $f(x) = \frac{2x+1}{x-3}$.
$f'(x) = \frac{2(x-3) - (2x+1)(1)}{(x-3)^2} = \frac{2x-6-2x-1}{(x-3)^2} = \frac{-7}{(x-3)^2}$.
Trouver les points où la tangente à $f(x)=x^2-4x$ est horizontale.
$f'(x) = 2x - 4$.
$2x - 4 = 0 \implies x = 2$. Le point est $(2, -4)$.
Étudier la continuité de $f(x) = \frac{x}{x^2-1}$ sur $\mathbb{R}$.
Elle est continue sur son domaine de définition $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$.
Calculer $f''(x)$ pour $f(x) = x^4 - 2x^2 + 5$.
$f''(x) = 12x^2 - 4$.
Calculer $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos(x)}{x^2}$.
Soit $f(x) = x^2$ sur $[0, +\infty[$. Montrer que $f$ admet une fonction réciproque.
$f'(x) = 2x > 0$ sur $]0, +\infty[$, donc $f$ est strictement croissante.
D'après le théorème de la bijection, $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$.