Sakwilatop: Série Officielle : Théorème de Thalès (6 Exercices)

Examen Type : 6 Exercices Officiels - Thalès 3AC

Exercice 1 : Configuration Classique (2 pts)

Direct

Sur la figure ci-contre, on a $(MN) // (BC)$.
On donne : $AB = 8$ cm ; $AM = 2$ cm ; $AC = 12$ cm.
Question : Calculer la longueur $AN$.

Dans le triangle $ABC$, on a $M \in [AB]$ et $N \in [AC]$ et $(MN) // (BC)$.
D'après le théorème de Thalès : $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} \implies \frac{2}{8} = \frac{AN}{12}$
$AN = \frac{2 \times 12}{8} = \frac{24}{8} = 3$ cm.

Exercice 2 : Configuration "Papillon" (2 pts)

Direct

Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont sécantes en $O$. Les droites $(AC)$ et $(BD)$ sont parallèles.
On donne : $OA = 3$ ; $OB = 9$ ; $OC = 2,5$.
Question : Calculer la longueur $OD$.

Puisque $(AC) // (BD)$ et les points $A, O, B$ et $C, O, D$ sont alignés :
$\frac{OA}{OB} = \frac{OC}{OD} \implies \frac{3}{9} = \frac{2,5}{OD}$
$OD = \frac{9 \times 2,5}{3} = 3 \times 2,5 = 7,5$.

Exercice 3 : Réciproque de Thalès (3 pts)

Réciproque

Soit $ABC$ un triangle. $E$ est un point de $[AB]$ et $F$ un point de $[AC]$.
On donne : $AB = 5$ ; $AE = 7,5$ ; $AC = 4$ ; $AF = 6$.
Question : Montrer que les droites $(BC)$ et $(EF)$ sont parallèles.

Calculons séparément les rapports :
$\frac{AB}{AE} = \frac{5}{7,5} = \frac{50}{75} = \frac{2}{3}$
$\frac{AC}{AF} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
On constate que $\frac{AB}{AE} = \frac{AC}{AF}$. Puisque les points $A, B, E$ et $A, C, F$ sont alignés dans le même ordre, alors d'après la réciproque du théorème de Thalès, $(BC) // (EF)$.

Exercice 4 : Thalès et Pythagore combinés (4 pts)

Mixte

$ABC$ est un triangle rectangle en $A$ tel que $AB = 3$ cm et $AC = 4$ cm.
Soit $M$ un point de $[AB]$ tel que $AM = 1,5$ cm. La parallèle à $(BC)$ passant par $M$ coupe $[AC]$ en $N$.
1) Calculer la longueur $BC$.
2) Calculer les longueurs $AN$ et $MN$.

1) $ABC$ est rectangle en $A$, donc d'après Pythagore : $BC^2 = AB^2 + AC^2 = 3^2 + 4^2 = 25 \implies BC = 5$ cm.
2) $(MN) // (BC)$, d'après Thalès : $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC} \implies \frac{1,5}{3} = \frac{AN}{4} = \frac{MN}{5}$.
- $AN = \frac{1,5 \times 4}{3} = 2$ cm.
- $MN = \frac{1,5 \times 5}{3} = 2,5$ cm.

Exercice 5 : Équation et Thalès (3 pts)

Algèbre

Sur la figure, $(MN) // (BC)$. On donne $AM = x$ ; $AB = x + 4$ ; $AN = 2$ ; $AC = 6$.
Question : Déterminer la valeur de $x$.

D'après Thalès : $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} \implies \frac{x}{x+4} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$3x = 1(x + 4) \implies 3x - x = 4 \implies 2x = 4 \implies x = 2$.

Exercice 6 : Problème de l'ombre (4 pts)

Application

Une personne mesurant 1,70 m se tient debout à côté d'un arbre. Son ombre mesure 2 m, tandis que l'ombre de l'arbre mesure 10 m.
Question : En supposant que les rayons du soleil sont parallèles, calculer la hauteur de l'arbre.

Soit $h$ la hauteur de l'arbre. Les triangles formés par l'objet et son ombre sont semblables (Thalès).
$\frac{\text{Hauteur Personne}}{\text{Hauteur Arbre}} = \frac{\text{Ombre Personne}}{\text{Ombre Arbre}} \implies \frac{1,70}{h} = \frac{2}{10}$
$h = \frac{1,70 \times 10}{2} = \frac{17}{2} = 8,5$ m.