Systèmes d'équations - 3AC Mathématiques - sakwilatop
Résumé du Cours
1. Définition
Un système de deux équations du premier degré à deux inconnues $x$ et $y$ est de la forme :
$(S) : \begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases}$
Résoudre ce système, c'est trouver tous les couples $(x; y)$ qui vérifient les deux équations simultanément.
2. Méthode de Substitution
- Étape 1 : On exprime une inconnue en fonction de l'autre dans l'une des équations (ex: $x = ...$).
- Étape 2 : On remplace cette expression dans l'autre équation.
- Étape 3 : On résout l'équation à une inconnue obtenue.
3. Méthode de Combinaison Linéaire
On multiplie les équations par des nombres choisis pour que les coefficients d'une inconnue soient opposés.
Exemple : Si on a $2x$ et $x$, on multiplie la 2ème équation par $-2$ pour éliminer les $x$ par addition.
4. Résolution Graphique
Chaque équation correspond à une droite. La solution du système est le couple de coordonnées $(x; y)$ du point d'intersection des deux droites.
Série de 6 Exercices
Substitution
Ex 1
Résoudre le système suivant :
$\begin{cases} x - 2y = 1 \\ 3x + y = 10 \end{cases}$
1. De (1) : $x = 1 + 2y$
2. Dans (2) : $3(1 + 2y) + y = 10$
$3 + 6y + y = 10 \Rightarrow 7y = 7 \Rightarrow \mathbf{y = 1}$
3. $x = 1 + 2(1) = \mathbf{3}$
Solution : (3 ; 1)
2. Dans (2) : $3(1 + 2y) + y = 10$
$3 + 6y + y = 10 \Rightarrow 7y = 7 \Rightarrow \mathbf{y = 1}$
3. $x = 1 + 2(1) = \mathbf{3}$
Solution : (3 ; 1)
Combinaison
Ex 2
Résoudre le système suivant :
$\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 5x - 3y = 7 \end{cases}$
On additionne les deux équations :
$(2x + 5x) + (3y - 3y) = 7 + 7$
$7x = 14 \Rightarrow \mathbf{x = 2}$
On remplace $x$ dans (1) :
$2(2) + 3y = 7 \Rightarrow 4 + 3y = 7 \Rightarrow 3y = 3 \Rightarrow \mathbf{y = 1}$
Solution : (2 ; 1)
$(2x + 5x) + (3y - 3y) = 7 + 7$
$7x = 14 \Rightarrow \mathbf{x = 2}$
On remplace $x$ dans (1) :
$2(2) + 3y = 7 \Rightarrow 4 + 3y = 7 \Rightarrow 3y = 3 \Rightarrow \mathbf{y = 1}$
Solution : (2 ; 1)
Mixte
Ex 3
Résoudre le système :
$\begin{cases} 3x + 4y = 11 \\ 2x + 3y = 8 \end{cases}$
Multiplions (1) par 2 et (2) par -3 :
$\begin{cases} 6x + 8y = 22 \\ -6x - 9y = -24 \end{cases}$
Addition : $-y = -2 \Rightarrow \mathbf{y = 2}$
Calcul de $x$ dans (2) : $2x + 3(2) = 8 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow \mathbf{x = 1}$
Solution : (1 ; 2)
$\begin{cases} 6x + 8y = 22 \\ -6x - 9y = -24 \end{cases}$
Addition : $-y = -2 \Rightarrow \mathbf{y = 2}$
Calcul de $x$ dans (2) : $2x + 3(2) = 8 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow \mathbf{x = 1}$
Solution : (1 ; 2)
Graphique
Ex 4
Résoudre graphiquement :
$\begin{cases} y = x + 1 \\ y = -x + 3 \end{cases}$
- Droite $D_1$ passe par $(0;1)$ et $(1;2)$.
- Droite $D_2$ passe par $(0;3)$ et $(3;0)$.
Le point d'intersection est le point où $x+1 = -x+3 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x=1$.
Si $x=1, y=1+1=2$.
Solution : (1 ; 2)
- Droite $D_2$ passe par $(0;3)$ et $(3;0)$.
Le point d'intersection est le point où $x+1 = -x+3 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x=1$.
Si $x=1, y=1+1=2$.
Solution : (1 ; 2)
Cas Particulier
Ex 5
Le système a-t-il une solution ?
$\begin{cases} 2x - y = 5 \\ 4x - 2y = 10 \end{cases}$
On remarque que la 2ème équation est la 1ère multipliée par 2.
$4x - 2y = 10 \Rightarrow 2(2x - y) = 2(5) \Rightarrow 2x - y = 5$.
Les deux équations sont identiques.
Il y a une infinité de solutions (tous les points de la droite).
$4x - 2y = 10 \Rightarrow 2(2x - y) = 2(5) \Rightarrow 2x - y = 5$.
Les deux équations sont identiques.
Il y a une infinité de solutions (tous les points de la droite).
Problème
Ex 6
Dans une ferme, il y a des poules et des lapins. On compte 35 têtes et 94 pattes. Combien y a-t-il de poules ?
Soit $x$ le nombre de poules et $y$ le nombre de lapins.
$\begin{cases} x + y = 35 \\ 2x + 4y = 94 \end{cases}$
De (1) : $x = 35 - y$.
Dans (2) : $2(35 - y) + 4y = 94$
$70 - 2y + 4y = 94 \Rightarrow 2y = 24 \Rightarrow \mathbf{y = 12}$ (lapins).
$x = 35 - 12 = \mathbf{23}$ (poules).
Réponse : 23 poules et 12 lapins.
$\begin{cases} x + y = 35 \\ 2x + 4y = 94 \end{cases}$
De (1) : $x = 35 - y$.
Dans (2) : $2(35 - y) + 4y = 94$
$70 - 2y + 4y = 94 \Rightarrow 2y = 24 \Rightarrow \mathbf{y = 12}$ (lapins).
$x = 35 - 12 = \mathbf{23}$ (poules).
Réponse : 23 poules et 12 lapins.