الدرس الرسمي: مبرهنة طاليس

المملكة المغربية
وزارة التربية الوطنية والتعليم الأولي والرياضة
مؤسسة الريادة - السنة الثالثة إعدادي

مبرهنة طاليس

Théorème de Thalès

1. مبرهنة طاليس المباشرة

نص المبرهنة:

إذا كان لدينا مثلث \( ABC \) و نقطة \( M \) تنتمي للمستقيم \( (AB) \) و نقطة \( N \) تنتمي للمستقيم \( (AC) \)، بحيث المستقيمان \( (MN) \) و \( (BC) \) متوازيان، فإن:

\[ \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC} \]

الحالة 1: وضعية المثلث

الحالة 2: وضعية الفراشة

2. مبرهنة طاليس العكسية

الهدف: إثبات توازي مستقيمين.

إذا كانت النقط \( A, M, B \) والنقط \( A, N, C \) مستقيمية وفي نفس الترتيب، وإذا تحقق الشرط:

\[ \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} \]

فإن المستقيمين \( (MN) \) و \( (BC) \) متوازيان.

تمارين تطبيقية

تمرين 1

حساب طول مجهول

نعتبر الشكل حيث \( (MN) // (BC) \).
المعطيات: \( AM = 3 \)، \( AB = 9 \)، \( AC = 15 \).
السؤال: احسب الطول \( AN \).

بما أن \( (MN) // (BC) \)، فإنه حسب مبرهنة طاليس المباشرة:

\[ \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} \implies \frac{3}{9} = \frac{AN}{15} \]

باستعمال القاعدة الثلاثية (الضرب التقاطعي):

\[ AN = \frac{3 \times 15}{9} = \frac{45}{9} = 5 \]

إذن: الطول \( AN \) هو 5 وحدات.

تمرين 2

إثبات التوازي

نعتبر النقط \( A, M, B \) و \( A, N, C \) مستقيمية ومرتبة بنفس الطريقة.
لدينا: \( AM = 2 \)، \( AB = 5 \)، \( AN = 4 \)، \( AC = 10 \).
السؤال: هل المستقيمان \( (MN) \) و \( (BC) \) متوازيان؟

لمعرفة التوازي، يجب مقارنة النسبتين \( \frac{AM}{AB} \) و \( \frac{AN}{AC} \):

\[ \frac{AM}{AB} = \frac{2}{5} = 0.4 \]

\[ \frac{AN}{AC} = \frac{4}{10} = 0.4 \]

بما أن \( \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = 0.4 \)، وحيث أن النقط \( A, M, B \) و \( A, N, C \) في نفس الترتيب، فإنه حسب مبرهنة طاليس العكسية فإن:

\[ (MN) // (BC) \]