Contrôle Continu N° 1 – Mathématiques (3 AC) avec Corrections

Contrôle Continu N° 1 – Mathématiques

Durée : 1 Heure | Niveau : 3ème AC

Exercice 1 : Développer et Réduire

Développer et réduire les expressions suivantes en utilisant, si nécessaire, les identités remarquables :

$$A = (x - \sqrt{2})^2$$

Afficher la correction

On applique l'identité remarquable $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$$A = x^2 - 2 \times x \times \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2$$

Puisque $(\sqrt{a})^2 = a$ pour $a$ positif, on a :

$$A = x^2 - 2\sqrt{2}x + 2$$
[1, 2]
$$B = (\sqrt{5} - x)(\sqrt{5} + x)$$

Afficher la correction

On applique l'identité remarquable $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

$$B = (\sqrt{5})^2 - x^2$$

$$B = 5 - x^2$$
[3]
$$C = x(7x + 2) - 7x(2 + x)$$

Afficher la correction

On utilise la distributivité $k(a+b) = ka + kb$.

$$C = (x \times 7x) + (x \times 2) - (7x \times 2) - (7x \times x)$$

$$C = 7x^2 + 2x - 14x - 7x^2$$

Les termes $7x^2$ et $-7x^2$ s'annulent.

$$C = 2x - 14x$$

$$C = -12x$$
[4]

Factoriser les expressions suivantes :

$$D = x^2 - 16$$

Afficher la correction

On utilise l'identité $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ avec $16 = 4^2$.

$$D = x^2 - 4^2$$

$$D = (x - 4)(x + 4)$$
[5]
$$E = x^2 + 8x + 16$$

Afficher la correction

On utilise l'identité $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$.

$$E = x^2 + 2 \times x \times 4 + 4^2$$

$$E = (x + 4)^2$$
[7]
$$F = (x - 4)(x + 5) + (x - 4)(x + 4)$$

Afficher la correction

Le facteur commun est $(x - 4)$. On applique $K(a + b) = Ka + Kb$.

$$F = (x - 4)[(x + 5) + (x + 4)]$$

On réduit à l'intérieur des crochets : $x + x = 2x$, et $5 + 4 = 9$.

$$F = (x - 4)(2x + 9)$$
[8, 9]
Question bonus : $$F' = 3x(x + 4) + x^2 - 9$$

Afficher la note

Cette question a été proposée par le professeur pour être résolue en commentaires.

Indice : Factoriser le terme $x^2 - 9$ en utilisant l'identité $a^2 - b^2$.
[9]

Simplifier et écrire les expressions suivantes sous forme d'une puissance unique :

$$G = \sqrt{3}^5 \times \sqrt{3}^4$$

Afficher la correction

On applique la règle $a^n \times a^m = a^{n+m}$ (produit de puissances avec la même base).

$$G = \sqrt{3}^{5+4}$$

$$G = \sqrt{3}^9$$
[10]
$$H = 5^{-2} \times 5^4 \times \left(\frac{1}{5}\right)^{-2}$$

Afficher la correction

On utilise la règle de l'inverse : $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$.

Donc $\left(\frac{1}{5}\right)^{-2} = 5^2$.

$$H = 5^{-2} \times 5^4 \times 5^2$$

On additionne les exposants : $-2 + 4 + 2 = 4$.

$$H = 5^4$$
[10, 11]
$$I = \sqrt{7}^6 \times \sqrt{11}^6 \times \sqrt{77}^{-6}$$

Afficher la correction

Étape 1 : On combine les deux premières bases (règle : $a^n \times b^n = (ab)^n$).

$$\sqrt{7}^6 \times \sqrt{11}^6 = (\sqrt{7} \times \sqrt{11})^6 = \sqrt{77}^6$$

Étape 2 : L'expression devient $$I = \sqrt{77}^6 \times \sqrt{77}^{-6}$$

On utilise la règle $a^n \times a^m = a^{n+m}$ : $6 + (-6) = 0$.

$$I = \sqrt{77}^0$$

$$I = 1$$
[13]

Donner l'écriture scientifique des nombres suivants (sous la forme $a \times 10^n$, avec $1 \leq a < 10$) :

$$J = 0{,}00087 \times 10^4$$

Afficher la correction

On écrit $0{,}00087$ en notation scientifique : $8{,}7 \times 10^{-4}$

(Déplacement de 4 chiffres vers la droite, exposant négatif car le nombre est $< 1$).

$$J = (8{,}7 \times 10^{-4}) \times 10^4$$

On additionne les exposants : $-4 + 4 = 0$.

$$J = 8{,}7 \times 10^0 = 8{,}7$$
[15]
$$K = 159\,000$$

Afficher la correction

Le nombre est grand ($> 10$), l'exposant sera positif.

On déplace la virgule de 5 rangs vers la gauche.

$$K = 1{,}59 \times 10^5$$
[15]
$$L = 0{,}002 \times 10^{-3} \times 35\,000 \times 10^2$$
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Étape 1 : Écriture scientifique des facteurs.
- $0{,}002 = 2 \times 10^{-3}$
- $35\,000 = 3{,}5 \times 10^4$
$$L = (2 \times 10^{-3}) \times 10^{-3} \times (3{,}5 \times 10^4) \times 10^2$$

Étape 2 : Multiplier les nombres et grouper les puissances de 10.

$$L = (2 \times 3{,}5) \times 10^{-3-3+4+2}$$

$$L = 7 \times 10^0 = 7$$

$$L = 7 \times 10^0 = 7$$
[16, 17]

Simplifier les expressions suivantes :

$$M = \sqrt{49}$$

Afficher la correction

$49$ est un carré parfait $(7^2)$.

$$M = 7$$
[18]
$$N = \sqrt{36} \times \sqrt{4}$$

Afficher la correction

$$N = 6 \times 2$$

$$N = 12$$
[19]
$$P = 5\sqrt{12} - \sqrt{27} + 5\sqrt{3}$$
Afficher la correction

On simplifie en utilisant le facteur commun $3$.
- $\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$
- $\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}$
$$P = 5(2\sqrt{3}) - 3\sqrt{3} + 5\sqrt{3}$$

$$P = 10\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + 5\sqrt{3}$$

On factorise par $\sqrt{3}$ : $(10 - 3 + 5)\sqrt{3}$.

$10 - 3 = 7$ ; $7 + 5 = 12$

$$P = 12\sqrt{3}$$
[21]

Note : L'exercice sur comment rendre le dénominateur rationnel (en utilisant la technique du conjugué) sera traité lors d'un prochain Live.

[21]