Devoir à Domicile N° 1 – 1er BAC Sciences Expérimentales

Devoir à domicile N° 1

Premier BAC Sciences Expérimentales

Domaines couverts : Notions de logiques ➢ Rappel sur les fonctions

Professeur : Prof HIcham | Source : www.youtube.com/@sakwilatop

Remarque : Le sujet sera corrigé avant le deuxième cours (Généralités sur les fonctions)

[1]

Exercice 01

Partie A : Fonction f

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

$$f(x) = x^2 - 4x + 3$$

Et soit $(C_f)$ la courbe de $f$ dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}; \vec{j})$.

1) a) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $f(x) = 0$.

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Méthode

Utiliser le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ ou la factorisation (produit de deux binômes) pour trouver les racines de l'équation quadratique :

$$x^2 - 4x + 3 = 0$$

On peut factoriser : $(x-1)(x-3) = 0$

Les solutions sont : $x = 1$ ou $x = 3$

Question 1a [2]

b) En déduire la valeur de vérité de la proposition $(P) : (\exists x \in \mathbb{R}): f(x) = 0$.

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Méthode

La proposition existentielle $(\exists x)$ est vraie s'il existe au moins une solution trouvée en 1) a).

Si l'ensemble des solutions est vide, elle est fausse.

Réponse

Puisqu'il existe des solutions ($x = 1$ et $x = 3$), la proposition $(P)$ est vraie.

Question 1b [2]

2) On considère la proposition :

$$(Q): (\forall (a, b) \in \mathbb{R}^2): \text{" } f(a) = f(b) \Rightarrow a = b \text{ "}$$

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Note

La proposition $(Q)$ affirme que la fonction $f$ est injective (ou une application).

Question 2 [2]

3) Donner la négation de la proposition $(Q)$.

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Méthode

La négation de $(\forall a, b): P(a, b)$ est $(\exists a, b): \neg P(a, b)$.

La négation de $(P \Rightarrow Q)$ est $(P \land \neg Q)$.

Réponse

$$\neg(Q) : (\exists (a, b) \in \mathbb{R}^2): \text{" } f(a) = f(b) \text{ et } a \neq b \text{ "}$$

Question 3 [2]

4) Déduire de 1) a) que $(Q)$ est fausse.

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Méthode

Pour montrer que $(Q)$ est fausse, il suffit de trouver un contre-exemple, c'est-à-dire deux valeurs $a \neq b$ telles que $f(a) = f(b)$.

Les solutions de $f(x)=0$ trouvées en 1) a) sont $x_1 = 1$ et $x_2 = 3$.

On a $f(1) = f(3) = 0$ avec $1 \neq 3$.

Réponse

Donc $(Q)$ est fausse.

Question 4 [2]

5) Calculer $f(1)$ puis $f(-1)$ puis montrer que $f$ n'est ni paire ni impaire.

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Méthode (Parité)

Calculer $f(-x)$ et comparer à $f(x)$ (paire) et à $-f(x)$ (impaire).

$$f(1) = 1^2 - 4(1) + 3 = 1 - 4 + 3 = 0$$

$$f(-1) = (-1)^2 - 4(-1) + 3 = 1 + 4 + 3 = 8$$

On vérifie : $f(-1) = 8 \neq 0 = f(1)$ donc $f$ n'est pas paire.

Et $f(-1) = 8 \neq -0 = -f(1)$ donc $f$ n'est pas impaire.

Réponse

La fonction $f$ n'est ni paire ni impaire.

Question 5 [2]

6) a) Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ en justifiant votre réponse.

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Méthode

$f(x)$ est un trinôme du second degré avec $a=1 > 0$.

Le sommet est donné par : $$x_s = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2(1)} = 2$$

La valeur minimale : $$f(2) = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$$

La fonction est décroissante sur $]-\infty; 2]$ et croissante sur $[2; +\infty[$.

Question 6a [2]

b) Déterminer la nature de $(C_f)$.

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Réponse

La courbe d'une fonction quadratique $(y = ax^2 + bx + c)$ est une parabole.

Question 6b [2]

c) Tracer $(C_f)$ dans le repère $(O; \vec{i}; \vec{j})$.

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Méthode

Placer les éléments suivants :

Le sommet : $S(2, -1)$
Les racines (intersections avec l'axe des abscisses) : $(1, 0)$ et $(3, 0)$
L'ordonnée à l'origine : $f(0) = 3$, point $(0, 3)$

Tracer une parabole orientée vers le haut.

Question 6c [3]

7) Soient $a, b \in ]2; +\infty[$, montrer par contraposée que :

$$a \neq b \Rightarrow f(a) \neq f(b)$$

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Méthode

La contraposée de $(P \Rightarrow Q)$ est $(\neg Q \Rightarrow \neg P)$.

Ici, il faut montrer que : $$f(a) = f(b) \Rightarrow a = b$$

Puisque la fonction est strictement croissante sur $]2; +\infty[$ (voir tableau de variation), elle est injective sur cet intervalle.

Donc si $f(a) = f(b)$ avec $a, b \in ]2; +\infty[$, alors nécessairement $a = b$.

Question 7 [3]

Partie B : Fonction g

Soit $g$ la fonction définie par :

$$g(x) = \frac{x-1}{x+1}$$

Et soit $(C_g)$ la courbe de $g$ dans le repère orthonormé $(O; \vec{i}; \vec{j})$.

1) Déterminer $D_g$ le domaine de définition de la fonction $g$.

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Méthode

$g(x)$ est définie si et seulement si le dénominateur est non nul.

$$x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$$

Réponse

$$D_g = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$$

Question 1 [3]

2) Dresser le tableau de variation de la fonction $g$ en justifiant votre réponse.

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Méthode

Pour une fonction homographique $g(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$, on calcule :

$$ad - bc = (1)(1) - (-1)(1) = 1 + 1 = 2 > 0$$

Le signe du numérateur $(ad-bc)$ détermine le sens de variation.

Puisque $ad - bc > 0$, la fonction est strictement décroissante sur chaque intervalle de $D_g$.

Réponse

$g$ est strictement décroissante sur $]-\infty; -1[$ et sur $]-1; +\infty[$.

Question 2 [3]

3) Déterminer la nature de $(C_g)$.

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Réponse

La courbe d'une fonction homographique est une hyperbole.

Question 3 [3]

4) Déterminer les points d'intersection de $(C_g)$ avec les axes du repère $(O; \vec{i}; \vec{j})$.

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Axe des abscisses (y=0)

Résoudre $g(x) = 0$, soit $\frac{x-1}{x+1} = 0$.

Le numérateur doit être nul : $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$

Point d'intersection : $(1, 0)$

Axe des ordonnées (x=0)

Calculer $g(0)$ :

$$g(0) = \frac{0-1}{0+1} = \frac{-1}{1} = -1$$

Point d'intersection : $(0, -1)$

Question 4 [3]

5) Tracer $(C_g)$ dans le repère $(O; \vec{i}; \vec{j})$ avec une autre couleur.

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Méthode

Placer les éléments suivants :

Asymptote verticale : $x = -1$ (valeur interdite)
Asymptote horizontale : $y = \frac{a}{c} = \frac{1}{1} = 1$
Points d'intersection : $(1, 0)$ et $(0, -1)$

Tracer les deux branches de l'hyperbole en respectant les asymptotes.

Question 5 [4]

Exercice 02

Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

$$f(x) = 3 + 2\cos(\pi x)$$

1) Montrer que $f$ est paire.

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Méthode

Vérifier que $f(-x) = f(x)$. Rappel : $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$.

$$f(-x) = 3 + 2\cos(\pi(-x)) = 3 + 2\cos(-\pi x)$$

$$f(-x) = 3 + 2\cos(\pi x) = f(x)$$

Réponse

Donc $f$ est paire.

Question 1 [4]

2) Soit $x \in \mathbb{R}$ : montrer que $1 \leq f(x) \leq 5$.

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Méthode

Partir de l'encadrement connu du cosinus : $-1 \leq \cos(\pi x) \leq 1$.

Multiplier par 2 : $$-2 \leq 2\cos(\pi x) \leq 2$$

Ajouter 3 : $$3 + (-2) \leq 3 + 2\cos(\pi x) \leq 3 + 2$$

$$1 \leq f(x) \leq 5$$

Question 2 [4]

3) Soit $x \in \mathbb{R}$ ; montrer que $f(x + 2) = f(x)$.

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Méthode

Calculer $f(x+2)$ en utilisant la périodicité du cosinus : $\cos(\theta + 2k\pi) = \cos(\theta)$.

$$f(x+2) = 3 + 2\cos(\pi(x+2))$$

$$f(x+2) = 3 + 2\cos(\pi x + 2\pi)$$

$$f(x+2) = 3 + 2\cos(\pi x) = f(x)$$

Question 3 [4]

4) Soit $x \in \mathbb{R}$, montrer par récurrence que :

$$(\forall n \in \mathbb{N}) : f(x + 2n) = f(x)$$

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Méthode

Initialisation ($n=0$) :

$$f(x + 2 \times 0) = f(x + 0) = f(x)$$ ✓

Hérédité : Supposons $f(x + 2n) = f(x)$ vraie pour un certain $n \in \mathbb{N}$.

Montrons que $f(x + 2(n+1)) = f(x)$ :

$$f(x + 2(n+1)) = f(x + 2n + 2) = f((x + 2n) + 2)$$

D'après la question 3 : $f(y + 2) = f(y)$ avec $y = x + 2n$

$$f((x + 2n) + 2) = f(x + 2n) = f(x)$

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