Devoir à domicile N° 1 – Mathématiques (2APIC)

Collège : 2AC/BIOF/FR Devoir : 1 ⭐⭐⭐ Mathématiques ⭐⭐⭐

Année scolaire : 2025/2026 Durée : 45 min

DEVOIR À DOMICILE N°1

Exercice 1

1) Réduire les expressions suivantes :

$$A = 2x - (7x+1)+(4x-5)$$

$$B = a^2b^3 - 4a - (a^2 + b^3 - 2y - a^2)$$

$$C = -6x + 2 + 3a + 8a - 5 + 3x - 8a + 9$$

📝 Correction :

Méthode Supprimer les parenthèses en respectant les signes, puis regrouper les termes semblables.

Pour A :

$$A = 2x - 7x - 1 + 4x - 5$$ $$A = (2x - 7x + 4x) + (-1 - 5)$$ $$A = -x - 6$$

Pour B :

$$B = a^2b^3 - 4a - a^2 - b^3 + 2y + a^2$$ $$B = (a^2 - a^2 + a^2) + (b^3 - b^3) - 4a + 2y$$ $$B = a^2 - 4a + 2y$$

Pour C :

$$C = -6x + 3x + 3a + 8a - 8a + 2 - 5 + 9$$ $$C = -3x + 3a + 6$$

Réponses \(A = -x - 6\) ; \(B = a^2 - 4a + 2y\) ; \(C = -3x + 3a + 6\)

2) Développer et réduire les expressions suivantes :

$$A = (x-2)+(x+5)$$

$$B = 5(x-y+3)+3y-6z$$

$$C = \frac{3}{2}(1-4x)-\frac{3}{4}x$$

📝 Correction :

Méthode Appliquer la distributivité \(k(a+b) = ka + kb\), puis réduire.

Pour A :

$$A = x - 2 + x + 5$$ $$A = 2x + 3$$

Pour B :

$$B = 5x - 5y + 15 + 3y - 6z$$ $$B = 5x - 2y - 6z + 15$$

Pour C :

$$C = \frac{3}{2} - \frac{3 \times 4x}{2} - \frac{3x}{4}$$ $$C = \frac{3}{2} - 6x - \frac{3x}{4}$$ $$C = \frac{3}{2} - \frac{24x}{4} - \frac{3x}{4}$$ $$C = \frac{3}{2} - \frac{27x}{4}$$

Réponses \(A = 2x + 3\) ; \(B = 5x - 2y - 6z + 15\) ; \(C = \frac{3}{2} - \frac{27x}{4}\)

3) Factoriser les expressions suivantes :

$$A = 2x + 3x + 7$$

$$B = (a-2)(7-a)-(2x-9)$$

📝 Correction :

Méthode Identifier le facteur commun et utiliser \(ka + kb = k(a + b)\).

Pour A :

$$A = 2x + 3x + 7 = 5x + 7$$

Note : On ne peut pas factoriser davantage car il n'y a pas de facteur commun entre 5x et 7.

Pour B :

Cette expression ne semble pas avoir de forme factorisable évidente sans développement préalable.

Réponse \(A = 5x + 7\) (forme réduite)

Exercice 2

1) Résoudre les équations suivantes :

(E₁): $$3x + 4 = 5y - 2t - 8x$$

(E₂): $$2(-x+3)=3x-4$$

📝 Correction :

Pour (E₁) : \(3x + 4 = 5y - 2t - 8x\)

Méthode Regrouper tous les termes en x d'un côté.

$$3x + 8x = 5y - 2t - 4$$ $$11x = 5y - 2t - 4$$ $$x = \frac{5y - 2t - 4}{11}$$

Pour (E₂) : \(2(-x+3)=3x-4\)

Méthode Développer, puis isoler x.

$$-2x + 6 = 3x - 4$$ $$6 + 4 = 3x + 2x$$ $$10 = 5x$$ $$x = 2$$

Réponses \(x = \frac{5y - 2t - 4}{11}\) ; \(x = 2\)

2) Problème :

Meryem a dépensé 575 dh pour son dernier et un manteau.

Le manteau coûte 175 dh de plus que le dernier.

Quels étaient les prix de le dernier et du manteau ?

📝 Correction :

Mise en équation

Soit \(x\) le prix du dernier (en dh).

Le manteau coûte : \(x + 175\) dh

Total dépensé : \(x + (x + 175) = 575\)

Résolution :

$$2x + 175 = 575$$ $$2x = 575 - 175$$ $$2x = 400$$ $$x = 200 \text{ dh}$$

Prix du manteau : \(200 + 175 = 375\) dh

Réponse Le dernier coûte 200 dh et le manteau coûte 375 dh.

Exercice 3

1) Comparer par \(<\), \(>\) ou \(=\) dans chacun des cas suivants :

a) \(a - b = -5\) ; \(\quad\) \(\bullet\) \(a \ldots b-5\) \(\quad\) \(\bullet\) \(a-b \ldots 7\) \(\quad\) \(\bullet\) \(a-b \ldots 0\) \(\quad\) \(\bullet\) \(a \ldots 5+a+7\)

📝 Correction :

Méthode Utiliser \(a - b = -5\) pour remplacer dans chaque comparaison.

• \(a \ldots b-5\) : Puisque \(a - b = -5\), alors \(a = b - 5\). Donc \(a = b - 5\)

• \(a-b \ldots 7\) : Puisque \(a - b = -5\) et \(-5 < 7\). Donc \(a - b < 7\)

• \(a-b \ldots 0\) : Puisque \(a - b = -5\) et \(-5 < 0\). Donc \(a - b < 0\)

• \(a \ldots 5+a+7\) : On compare \(a\) et \(a + 12\). Donc \(a < a + 12\)

2) Comparer les nombres suivants :

a) \(2x-5\) et \(-2x-5\)

b) \(5xy-1\) et \(1-\frac{xy}{5}\)

c) \(4x-5+3y\) et \(2x-1+7y+2x\)

d) \(\frac{3x+11}{4}\) et \(\frac{x-3+2x}{5}\)

📝 Correction :

Méthode Calculer la différence entre les deux expressions et étudier son signe.

a) Comparaison de \(2x-5\) et \(-2x-5\)

$$(2x-5) - (-2x-5) = 2x - 5 + 2x + 5 = 4x$$

Si \(x > 0\), alors \(2x - 5 > -2x - 5\)

Si \(x < 0\), alors \(2x - 5 < -2x - 5\)

Si \(x = 0\), alors \(2x - 5 = -2x - 5\)

b) Comparaison de \(5xy-1\) et \(1-\frac{xy}{5}\)

$$(5xy-1) - (1-\frac{xy}{5}) = 5xy - 1 - 1 + \frac{xy}{5} = \frac{26xy}{5} - 2$$

Dépend du signe de \(xy\) et de sa valeur.

c) Comparaison de \(4x-5+3y\) et \(2x-1+7y+2x\)

$$(4x-5+3y) - (4x-1+7y) = -5 + 3y + 1 - 7y = -4 - 4y$$

Si \(y > -1\), alors \(4x-5+3y < 4x-1+7y\)

Note Les comparaisons dépendent des valeurs de x et y.

Bon courage !

Prof. ____________