الرياضيات / Mathématiquesأولى باك علوم تجريبية (1ère Bac Sc. Exp)

تذكير: النهايات والاشتقاق

الأهداف التعلمية

• ●التمكن من حساب نهايات الدوال الحدودية والجذرية واللاإجذرية.
• ●التعرف على الأشكال غير المحددة وتقنيات إزالتها.
• ●ضبط تعريف العدد المشتق وتأويله الهندسي.
• ●حساب الدالة المشتقة باستخدام العمليات الجبرية.
• ●استغلال إشارة المشتقة لدراسة رتابة الدالة.

01

تمهيد

يعتبر هذا الدرس مراجعة مركزة للمفاهيم الأساسية حول النهايات والاشتقاق، وهي أدوات ضرورية لدراسة الدوال العددية في السنة الأولى باكالوريا علوم تجريبية. يهدف الملخص إلى تثبيت قواعد حساب النهايات وتعريف العدد المشتق وتطبيقاته الهندسية.

02

1. نهايات الدوال المرجعية والعمليات عليها

تعتبر النهايات أساس دراسة سلوك الدوال عند الملانهاية أو عند نقاط محددة.

أولاً: نهايات اعتيادية (Limites usuelles):

- نهاية دالة حدودية عند $\pm \infty$ هي نهاية حدها الأكبر درجة: ${\lim }_{x\to \pm \infty }P(x)={\lim }_{x\to \pm \infty }{a}_n{x}^n$.

- نهاية دالة جذرية عند $\pm \infty$ هي نهاية خارج قسمة حديها الأكبر درجة: ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{P(x)}{Q(x)}={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{a_n{x}^n}{b_m{x}^m}$.

- النهايات المرجعية عند الصفر: ${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{1}{x}=+\infty$ و ${\lim }_{x\to 0^{-}}\frac{1}{x}=-\infty$.

ثانياً: الأشكال غير المحددة (Formes indéterminées):

هي حالات لا يمكن فيها تحديد النهاية مباشرة، وهي أربع:

1. $\frac{0}{0}$ (صفر على صفر)

2. $\frac{\infty }{\infty }$ (لانهاية على لانهاية)

3. $0\times \infty$ (صفر في لانهاية)

4. $+\infty -\infty$ (زائد لانهاية ناقص لانهاية)

ثالثاً: طرق إزالة عدم التعيين:

- التعميل (Factorisation) بالاختزال بأكبر أس.

- الضرب في المرافق (Conjugate) خاصة عند وجود الجذور المربعة.

- استخدام العدد المشتق (للنهايات من نوع $\frac{0}{0}$).

03

2. الاشتقاق في نقطة والتأويل الهندسي

الاشتقاق يدرس التغير المحلي للدالة ويرتبط بمفهوم المماس.

أولاً: تعريف العدد المشتق (Nombre dérivé):

- نقول أن الدالة $f$ قابلة للاشتقاق في $x_0$ إذا كانت النهاية التالية موجودة ومنتهية:

${\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=l$

- يسمى العدد $l$ العدد المشتق للدالة $f$ في $x_0$ ونرمز له بـ $f^{\prime }(x_0)$.

ثانياً: التأويل الهندسي (Interprétation géométrique):

- إذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق في $x_0$، فإن منحنى الدالة يقبل مماساً (Tangent) عند النقطة $A(x_0,f(x_0))$.

- معادلة المماس هي:

$y=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$

ثالثاً: التقريب التآلفي:

- بجوار $x_0$، يمكن تقريب الدالة $f$ بالدالة التآلفية المماسية:

$f(x)\approx f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$

04

3. الدالة المشتقة والعمليات على المشتقات

لحساب المشتقة لأي دالة، نعتمد على جدول المشتقات الاعتيادية وقواعد العمليات.

أولاً: مشتقات الدوال الاعتيادية (Dérivées usuelles):

- الثابتة: $(k{)}^{\prime }=0$

- القوة: $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$ حيث $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

- الجذر المربع: $(\sqrt{x}{)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ لكل $x>0$

- المقلوب: $(\frac{1}{x}{)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$

- الدوال المثلثية: $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$ و $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$

ثانياً: العمليات على الدوال المشتقة (Opérations):

لتكن $u$ و $v$ دالتين قابلتين للاشتقاق:

1. المجموع: $(u+v{)}^{\prime }=u^{\prime }+v^{\prime }$

2. الجداء: $(u\times v{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$

3. المقلوب: $(\frac{1}{v}{)}^{\prime }=-\frac{v^{\prime }}{v^2}$

4. الخارج: $(\frac{u}{v}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$

5. القوة: $(u^n{)}^{\prime }=n{u}^{\prime }{u}^{n-1}$

05

4. تطبيقات الاشتقاق: الرتابة

تعتبر دراسة إشارة الدالة المشتقة الأداة الأساسية لتحديد تغيرات الدالة الأصلية.

العلاقة بين المشتقة والرتابة (Monotonie):

- إذا كان $f^{\prime }(x)>0$ على مجال $I$، فإن الدالة $f$ تزايدية قطعا (Strictement croissante) على هذا المجال.

- إذا كان $f^{\prime }(x)<0$ على مجال $I$، فإن الدالة $f$ تناقصية قطعا (Strictement décroissante) على هذا المجال.

- إذا كان $f^{\prime }(x)=0$ على مجال $I$، فإن الدالة $f$ ثابتة (Constante).

نقطة الانعطاف والمطارف (Extremums):

- تنعدم المشتقة وتغير إشارتها عند القيمة القصوى أو الدنوية للدالة.

خلاصة عامة

يشكل التمكن من حساب النهايات وقواعد الاشتقاق الركيزة الأساسية لتحليل الدوال. يسمح الاشتقاق بفهم تغيرات الدالة ورسم منحناها البياني بدقة، وهو مهارة محورية في الامتحانات الوطنية.

أسئلة للتقويم والمراجعة

1

ما هو التعريف الرياضي للعدد المشتق للدالة $f$ في النقطة $x_0$؟

↳

هو نهاية معدل التغير عندما يؤول المتغير إلى $x_0$: $f^{\prime }(x_0)={\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$.

2

ما هي معادلة المماس لمنحنى الدالة في النقطة ذات الأفصول $x_0$؟

↳

المعادلة هي: $y=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$.

3

أذكر الأشكال الأربعة غير المحددة في حساب النهايات.

↳

الأشكال هي: $\frac{0}{0}$، $\frac{\infty }{\infty }$، $0\times \infty$، و $+\infty -\infty$.

4

كيف نحسب نهاية دالة حدودية عند $\pm \infty$؟

↳

نحسب نهاية حدها الأكبر درجة فقط.

5

ما هي مشتقة الدالة $f(x)=x^n$؟

↳

مشتقتها هي $f^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}$.

6

ما هي مشتقة الدالة $f(x)=\sqrt{x}$ وعلى أي مجال هي معرفة؟

↳

المشتقة هي $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ وهي معرفة على $]0,+\infty [$.

7

ما هي قاعدة اشتقاق جداء دالتين $(uv{)}^{\prime }$؟

↳

القاعدة هي: $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$.

8

ما هي قاعدة اشتقاق خارج دالتين $(\frac{u}{v}{)}^{\prime }$؟

↳

القاعدة هي: $(\frac{u}{v}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$.

9

إذا كانت $f^{\prime }(x)<0$ على مجال ما، فماذا نستنتج بخصوص رتابة $f$؟

↳

نستنتج أن الدالة $f$ تناقصية قطعا على هذا المجال.

10

كيف نتخلص من الشكل غير المحدد $\frac{0}{0}$ في الدوال الجذرية (Polynômes)؟

↳

غالباً عن طريق تعميل البسط والمقام بـ $(x-x_0)$ ثم الاختزال.

11

ما هي مشتقة $\sin (x)$ ومشتقة $\cos (x)$؟

↳

$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$ و $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$.

12

ما هو التأويل الهندسي للعدد المشتق؟

↳

العدد المشتق هو المعامل الموجه (Pente) للمماس لمنحنى الدالة عند تلك النقطة.

13

ما هي مشتقة الدالة المركبة $u^n$؟

↳

مشتقتها هي $n{u}^{\prime }{u}^{n-1}$.

14

ما هي نهاية $\frac{1}{x}$ عندما يؤول $x$ إلى $-\infty$؟

↳

النهاية هي $0$.

كلمات مفتاحية

# النهاية (Limite)# شكل غير محدد (Forme indéterminée)# الاشتقاق (Dérivation)# العدد المشتق (Nombre dérivé)# المماس (Tangente)# الدالة المشتقة (Fonction dérivée)# الرتابة (Monotonie)# معدل التغير (Taux d'accroissement)