المتتاليات العددية سلسلة 1 تمارين

المحتوى التعليمي الحصري لـ sakwilatop

سلسلة رقم 1

ابدأ التمارين الآن تواصل معي

هـ

الأستاذ هشام

@sakwilatop

+212 660 062 611

10 تمارين شاملة

100% حلول مفصلة

3 مستويات صعوبة

∞ مراجعة مجانية

التمرين 1: البرهان بالترجع (المتراجحات)

سهل

لتكن (u_n) المتتالية المعرفة بـ: u₀ = 6 و u_n+1 = (1/3)u_n + 2.
بين بالترجع أن u_n > 3 لكل n ∈ ℕ.

1. من أجل n=0: لدينا u₀ = 6 وبما أن 6 > 3 فإن العبارة صحيحة.
2. نفترض أن: u_n > 3 لعدد n معين.
3. لنبين أن: u_n+1 > 3.
لدينا حسب الافتراض: u_n > 3
إذن: (1/3)u_n > (1/3) × 3 أي (1/3)u_n > 1
نضيف 2 للطرفين: (1/3)u_n + 2 > 1 + 2
أي u_n+1 > 3.
خلاصة: لكل n من ℕ، u_n > 3.

التمرين 2: المتتالية الحسابية (تحديد الأساس)

سهل

(u_n) متتالية حسابية حيث u₅ = 17 و u₁₀ = 32.
1. حدد أساس المتتالية r وحدها الأول u₀.
2. أكتب u_n بدلالة n.

1. تحديد الأساس r:
نعلم أن: u_n = u_p + (n-p)r
تطبيق: u₁₀ = u₅ + (10-5)r
32 = 17 + 5r ⇒ 15 = 5r ⇒ r = 3.
2. تحديد الحد الأول u₀:
u₅ = u₀ + 5r ⇒ 17 = u₀ + 5(3) ⇒ u₀ = 17 - 15 = 2.
3. تعبير u_n:
u_n = u₀ + nr = 2 + 3n.

التمرين 3: دراسة الرتابة

متوسط

لتكن v_n = (n-1) / (n+1) لكل n ∈ ℕ.
أدرس رتابة المتتالية (v_n).

لحساب الرتابة ندرس إشارة الفرق v_n+1 - v_n:
v_n+1 = ((n+1)-1) / ((n+1)+1) = n / (n+2)
v_n+1 - v_n = [n / (n+2)] - [(n-1) / (n+1)]
نوحد المقامات: [n(n+1) - (n-1)(n+2)] / [(n+2)(n+1)]
= [n² + n - (n² + n - 2)] / [(n+2)(n+1)] = 2 / [(n+2)(n+1)]
بما أن n ≥ 0، فإن الفرق دائماً موجب قطعا. إذن المتتالية (v_n) تزايدية قطعا.

التمرين 4: المتتالية الهندسية (المجموع)

متوسط

لتكن (w_n) متتالية هندسية أساسها q = 2 وحدها الأول w₀ = 3.
أحسب المجموع: S = w₀ + w₁ + ... + w₉.

قاعدة مجموع متتالية هندسية: S = w_first × (1 - q^{number_of_terms}) / (1 - q)
- عدد الحدود: 9 - 0 + 1 = 10
- S = 3 × (1 - 2¹⁰) / (1 - 2)
- S = 3 × (1 - 1024) / (-1) = 3 × (-1023) / (-1) = 3069.

التمرين 5: المتتالية المساعدة (النوع الأول)

صعب

نعتبر u_n+1 = 2u_n + 5 و u₀ = 1.
نضع v_n = u_n + 5.
1. بين أن (v_n) هندسية.
2. استنتج u_n بدلالة n.

1. لنبين أنها هندسية:
v_n+1 = u_n+1 + 5 = (2u_n + 5) + 5 = 2u_n + 10 = 2(u_n + 5) = 2v_n.
إذن (v_n) هندسية أساسها q = 2 وحدها الأول v₀ = u₀ + 5 = 6.
2. تعبير u_n:
لدينا v_n = v₀ × qⁿ = 6 × 2ⁿ.
وبما أن v_n = u_n + 5 فإن u_n = v_n - 5 = 6 × 2ⁿ - 5.

التمرين 6: البرهان بالترجع (القسمة)

متوسط

بين بالترجع أن العدد 3²ⁿ - 1 يقبل القسمة على 8 لكل n ∈ ℕ.

1. n=0: 3⁰ - 1 = 0، و 0 يقبل القسمة على 8.
2. نفترض أن: 3²ⁿ - 1 = 8k.
3. لنبين أن: 3²⁽ⁿ⁺¹⁾ - 1 يقبل القسمة على 8.
3²ⁿ⁺² - 1 = 3²ⁿ × 3² - 1 = 9 × 3²ⁿ - 1
نعلم من الافتراض أن 3²ⁿ = 8k + 1.
نعوض: 9(8k + 1) - 1 = 72k + 9 - 1 = 72k + 8 = 8(9k + 1).
وهو عدد يقبل القسمة على 8.

التمرين 7: المتتالية المكبورة

سهل

لتكن u_n = (3n + 1) / (n + 2).
بين أن المتتالية (u_n) مكبورة بالعدد 3.

لنبين أن u_n < 3، ندرس إشارة الفرق u_n - 3:
u_n - 3 = [(3n + 1) / (n + 2)] - 3
= [3n + 1 - 3(n + 2)] / (n + 2)
= [3n + 1 - 3n - 6] / (n + 2) = -5 / (n + 2).
بما أن n ≥ 0 فإن n + 2 > 0، وبالتالي الفرق سالب دائماً.
إذن u_n < 3، فالمتتالية مكبورة بـ 3.

التمرين 8: المتتالية الحسابية (المجموع الجزئي)

متوسط

أحسب المجموع التالي: S = 1 + 2 + 3 + ... + 200.

هذا مجموع حدود متتالية حسابية أساسها r=1 وحدها الأول 1.
عدد الحدود هو 200.
القاعدة: S = n(n+1)/2
S = 200 × (200 + 1) / 2 = 100 × 201 = 20100.

التمرين 9: المتتالية المساعدة (حسابية)

صعب

نعتبر u_n+1 = u_n / (1 + u_n) و u₀ = 1.
نضع v_n = 1 / u_n.
1. بين أن (v_n) حسابية.
2. حدد u_n بدلالة n.

1. لنبين أنها حسابية:
v_n+1 - v_n = (1 / u_n+1) - (1 / u_n)
= [(1 + u_n) / u_n] - (1 / u_n) = (1 + u_n - 1) / u_n = u_n / u_n = 1.
إذن (v_n) حسابية أساسها r = 1 وحدها الأول v₀ = 1/u₀ = 1.
2. تعبير u_n:
v_n = v₀ + nr = 1 + n.
بما أن v_n = 1/u_n فإن u_n = 1 / (n + 1).

التمرين 10: تمرين تركيبي (امتحان)

صعب جداً

نعتبر المتتالية u_n+1 = (5u_n - 4) / (u_n + 1) و u₀ = 3.
1. بين أن u_n > 2 لكل n.
2. نضع v_n = 1 / (u_n - 2). بين أن v_n حسابية أساسها 1/3.

1. البرهان بالترجع (u_n > 2):
- للتحقق: u₀=3 > 2 (صحيح).
- الفرق: u_n+1 - 2 = (5u_n - 4 - 2u_n - 2) / (u_n + 1) = 3(u_n - 2) / (u_n + 1).
بما أن u_n > 2 فإن البسط والمقام موجبان، إذن u_n+1 > 2.
2. طبيعة v_n:
v_n+1 - v_n = [1 / (u_n+1 - 2)] - [1 / (u_n - 2)]
نعوض u_n+1 - 2 بما وجدناه في السؤال 1:
v_n+1 = (u_n + 1) / 3(u_n - 2)
v_n+1 - v_n = [(u_n + 1) / 3(u_n - 2)] - [3 / 3(u_n - 2)]
= (u_n + 1 - 3) / 3(u_n - 2) = (u_n - 2) / 3(u_n - 2) = 1/3.
إذن (v_n) حسابية أساسها 1/3.

كل التوفيق لتلاميذ الأولى باك في امتحاناتهم!

تم إعداد هذه السلسلة لتشمل أهم الحالات الواردة في الامتحانات الجهوية والمدرسية.