الدرس الشامل: المتتاليات العددية - الأولى باك

درس المتتاليات العددية

الدليل الكامل والشامل - السنة الأولى باكالوريا علوم

إعداد: الأستاذ هشام sakwilatop

تعريف الرتابة الحسابية الهندسية الترجع

1. عموميات حول المتتاليات

المتتالية العددية هي دالة عددية تربط كل عدد صحيح طبيعي n بعدد حقيقي u_n.

طرق تعريف متتالية:

• صيغة صريحة: يتم حساب u_n مباشرة بدلالة n.
  u_n = f(n)   (مثال: u_n = 3n + 1)
• صيغة ترجعية: يتم حساب حد معين باستخدام الحد الذي قبله.
  u_n+1 = f(u_n)   (مثال: u_n+1 = 2u_n - 5)

2. رتابة متتالية ومصاديقها

أ. رتابة متتالية:

لدراسة رتابة متتالية (u_n)، ندرس إشارة الفرق u_n+1 - u_n:

تزايدية

u_n+1 - u_n ≥ 0

تناقصية

u_n+1 - u_n ≤ 0

ثابتة

u_n+1 - u_n = 0

ب. المتتاليات المحدودة:

• تكون (u_n) مكبورة بالعدد M إذا كان: u_n ≤ M لكل n.

• تكون (u_n) مصغورة بالعدد m إذا كان: u_n ≥ m لكل n.

• تكون (u_n) محدودة إذا كانت مكبورة ومصغورة في آن واحد.

3. المتتالية الحسابية

تكون (u_n) متتالية حسابية إذا وجد عدد حقيقي r (الأساس) بحيث:

u_n+1 = u_n + r

القواعد الأساسية:

• الحد العام: u_n = u_p + (n - p)r
• المجموع: S = (عدد الحدود) × (الحد الأول + الحد الأخير) / 2
• ملاحظة: عدد الحدود = (دليل الحد الأخير - دليل الحد الأول + 1)

4. المتتالية الهندسية

تكون (v_n) متتالية هندسية إذا وجد عدد حقيقي q (الأساس) بحيث:

v_n+1 = q × v_n

القواعد الأساسية:

• الحد العام: v_n = v_p × q^{(n - p)}
• المجموع (إذا كان q ≠ 1): S = v_p × (1 - q^{عدد الحدود}) / (1 - q)

5. البرهان بالترجع

يستخدم للبرهنة على صحة خاصية P(n) لكل n ≥ n₀. نتبع ثلاث خطوات:

1

مرحلة التحقق:

نتحقق من صحة الخاصية من أجل أول عنصر (غالباً n=0 أو n=1).

2

مرحلة الافتراض:

نفترض أن الخاصية P(n) صحيحة لعدد معين n.

3

مرحلة البرهنة:

نبرهن على صحة الخاصية من أجل n+1.

هل لديك أي تساؤل؟

الأستاذ هشام دائماً في خدمتكم لشرح الدروس وحل التمارين الصعبة.

شاهد الشرح بالفيديو تواصل عبر الواتساب

معلومات التواصل

الأستاذ هشام

قناة sakwilatop التعليمية

+212 660 062 611

جميع الحقوق محفوظة © 2026 لمدونة sakwilatop

تم إعداد هذا الدرس بكل حب لمساعدة تلاميذنا الأوفياء.