Limites et Dérivation (1Bac Sc. Exp)

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الأستاذ هشام

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1. Calcul de Limites

Rappel pour les fonctions polynômes et rationnelles au voisinage de \(\pm\infty\) :

\lim_{x \to \pm\infty} P(x) = \lim_{x \to \pm\infty} (ax^n)$$ $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{P(x)}{Q(x)} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{ax^n}{bx^m}

Exercice 1 : Calculer les limites suivantes :

1) \(\lim_{x \to +\infty} (-2x^3 + 5x - 7)\)
2) \(\lim_{x \to -\infty} \frac{10x^2 - 3}{5x^2 + 4}\)
3) \(\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}\)

Solution :
1) \(\lim_{x \to +\infty} -2x^3 = -\infty\)
2) \(\lim_{x \to -\infty} \frac{10x^2}{5x^2} = \frac{10}{5} = 2\)
3) \(\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x+1) = 2\)

2. Dérivabilité en un point

\(f\) est dérivable en \(x_0\) si la limite suivante est finie :

\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = f'(x_0)

Équation de la tangente \((T)\) :

$$y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$$

Exercice 2 : Soit \(f(x) = x^2 + 3\).

1) Étudier la dérivabilité en \(x_0 = 1\).

2) Trouver l'équation de la tangente en ce point.

Solution :
1) \(\lim_{x \to 1} \frac{(x^2+3) - 4}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x+1) = 2\).
Donc \(f'(1) = 2\).
2) \(y = 2(x-1) + 4 \implies y = 2x + 2\).

3. Calcul de Dérivées

Exercice 3 : Calculer \(f'(x)\) :

1) \(f(x) = 3x^2 - 5x + 2\)
2) \(f(x) = \frac{1}{x} + \sqrt{x}\)
3) \(f(x) = \frac{x+1}{x-3}\)

Solution :
1) \(f'(x) = 6x - 5\)
2) \(f'(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{2\sqrt{x}}\)
3) \(f'(x) = \frac{(1)(x-3) - (1)(x+1)}{(x-3)^2} = \frac{-4}{(x-3)^2}\)