Les Nombres Fractionnaires
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre la notion de quotient et d'écriture fractionnaire.
- Savoir reconnaître et utiliser l'égalité de deux fractions.
- Simplifier une fraction pour la rendre irréductible.
- Réduire deux fractions au même dénominateur pour les comparer ou les additionner.
- Effectuer des additions, soustractions et multiplications de nombres fractionnaires.
Introduction
Le chapitre sur les nombres fractionnaires est fondamental dans le programme de mathématiques au collège. Il permet d'étendre la manipulation des nombres au-delà des entiers et des décimaux simples, introduisant la notion de partage, de proportion et de quotient. Ce résumé couvre la définition, l'égalité, la simplification, la comparaison ainsi que les opérations de base.
1. Définition et Vocabulaire
Une écriture fractionnaire est le quotient de deux nombres décimaux a et b (avec b ≠ 0).
Elle se note : ab.
- — a est le numérateur (le nombre du haut).
- — b est le dénominateur (le nombre du bas, qui indique en combien de parts égales l'unité est divisée).
- — Le trait horizontal est la barre de fraction.
Remarque importante :
Si a et b sont des nombres entiers, alors ab est appelé une fraction.
2. Égalité de Nombres Fractionnaires
La valeur d'une fraction ne change pas si l'on multiplie (ou divise) le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul.
Règle fondamentale :
Soit k un nombre non nul :
ab = a × kb × k et ab = a ÷ kb ÷ k
Produit en croix :
Deux nombres fractionnaires ab et cd sont égaux si et seulement si leurs produits en croix sont égaux :
ab = cd ⟺ a × d = b × c
3. Simplification d'une Fraction
Définition : Simplifier une fraction, c'est trouver une fraction égale avec un numérateur et un dénominateur plus petits (entiers).
Méthode : On divise le numérateur et le dénominateur par un diviseur commun.
Fraction irréductible :
Une fraction est dite irréductible lorsqu'on ne peut plus la simplifier (le seul diviseur commun à a et b est 1).
Exemple :
2436 = 24 ÷ 1236 ÷ 12 = 23 (2/3 est irréductible).
4. Comparaison des Nombres Fractionnaires
Cas 1 : Même dénominateur
Le plus grand nombre est celui qui a le plus grand numérateur.
Si a > c, alors ab > cb.
Cas 2 : Même numérateur
Le plus grand nombre est celui qui a le plus petit dénominateur.
Si b < d, alors ab > ad.
Cas 3 : Dénominateurs différents
Il faut réduire au même dénominateur avant de comparer les numérateurs.
Comparaison avec l'unité (1) :
- — Si le numérateur < dénominateur, la fraction est < 1.
- — Si le numérateur > dénominateur, la fraction est > 1.
- — Si le numérateur = dénominateur, la fraction est = 1.
5. Opérations : Addition et Soustraction
Même dénominateur :
On additionne (ou soustrait) les numérateurs et on garde le dénominateur commun.
Dénominateurs différents :
- On cherche un dénominateur commun (souvent le plus petit multiple commun).
- On transforme les fractions pour qu'elles aient ce dénominateur.
- On applique la règle précédente.
Exemple :
12 + 13 = 36 + 26 = 56.
6. Opérations : Multiplication
Pour multiplier deux nombres fractionnaires, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
Formule :
ab × cd = a × cb × d
Conseil : Il est souvent judicieux de simplifier *avant* d'effectuer la multiplication si possible.
La maîtrise des nombres fractionnaires est un prérequis indispensable pour l'algèbre, les équations et les probabilités. La clé de la réussite réside dans la capacité à trouver rapidement des dénominateurs communs et à simplifier systématiquement les résultats pour obtenir des fractions irréductibles.