سلسلة رقم 3

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الأستاذ هشام

@sakwilatop

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Exercice 1: Raisonnement par récurrence

Soit (u_n) définie par : u₀ = 1 et u_n+1 = 2u_n + 1.
Montrer par récurrence que u_n = 2ⁿ⁺¹ - 1 pour tout n ∈ ℕ.

- Initialisation : Pour n=0, u₀=1 et 2⁰⁺¹-1 = 2-1 = 1. Vrai.
- Hérédité : Supposons uₙ = 2ⁿ⁺¹-1. Montrons uₙ₊₁ = 2ⁿ⁺²-1.
uₙ₊₁ = 2uₙ + 1 = 2(2ⁿ⁺¹ - 1) + 1 = 2ⁿ⁺² - 2 + 1 = 2ⁿ⁺² - 1. Vrai.
- Conclusion : ∀n∈ℕ, uₙ = 2ⁿ⁺¹ - 1.

Exercice 2: Bornage par récurrence

Soit u₀ = 2 et u_n+1 = (1/2)u_n + 3.
Montrer par récurrence que u_n < 6 pour tout n ∈ ℕ.

- Init : n=0, u₀=2 < 6. Vrai.
- Hérédité : Supposons uₙ < 6.
uₙ < 6 ⇒ (1/2)uₙ < 3 ⇒ (1/2)uₙ + 3 < 3 + 3 ⇒ uₙ₊₁ < 6. Vrai.
- Conclusion : ∀n∈ℕ, uₙ < 6.

Exercice 3: Suite Arithmétique

Soit (u_n) arithmétique telle que u₂ = 5 et u₁₀ = 21.
Calculer la raison r et le premier terme u₀.

On utilise la formule : uₙ = uₚ + (n-p)r.
u₁₀ = u₂ + (10-2)r ⇒ 21 = 5 + 8r ⇒ 16 = 8r ⇒ r = 2.
u₂ = u₀ + 2r ⇒ 5 = u₀ + 2(2) ⇒ u₀ = 5 - 4 = 1.

Exercice 4: Somme des termes

Calculer la somme suivante :
S = 7 + 10 + 13 + ... + 70.

C'est une suite arithmétique de raison r=3 et u₀=7.
Cherchons n tel que uₙ=70 : 7 + n(3) = 70 ⇒ 3n = 63 ⇒ n = 21.
Nombre de termes = 21 - 0 + 1 = 22.
S = (Nombre de termes / 2) * (Premier + Dernier) = (22/2) * (7 + 70) = 11 * 77 = 847.

Exercice 5: Suite Géométrique

Soit (v_n) géométrique telle que v₁ = 6 et v₄ = 48.
Calculer la raison q et le terme v₀.

Formule : vₙ = vₚ * qⁿ⁻ᵖ.
v₄ = v₁ * q³ ⇒ 48 = 6 * q³ ⇒ q³ = 8 ⇒ q = 2.
v₁ = v₀ * q ⇒ 6 = v₀ * 2 ⇒ v₀ = 3.

Exercice 6: Somme géométrique

Soit v_n = 3 × 2ⁿ. Calculer :
S = v₀ + v₁ + ... + v₁₀.

S = v₀ * (1 - q¹¹) / (1 - q).
v₀ = 3 * 2⁰ = 3. Raison q = 2.
S = 3 * (1 - 2¹¹) / (1 - 2) = 3 * (1 - 2048) / (-1) = 3 * 2047 = 6141.

Exercice 7: Étude de monotonie

Étudier la monotonie de la suite u_n = n / (n + 1).

uₙ₊₁ - uₙ = (n+1)/(n+2) - n/(n+1)
= [(n+1)² - n(n+2)] / [(n+2)(n+1)]
= (n² + 2n + 1 - n² - 2n) / [(n+2)(n+1)] = 1 / [(n+2)(n+1)].
Puisque le résultat est positif, la suite est strictement croissante.

Exercice 8: Suite bornée

Montrer que la suite u_n = (2n + 1) / (n + 1) est bornée par 1 et 2.

- uₙ - 1 = (2n+1)/(n+1) - (n+1)/(n+1) = n/(n+1) ≥ 0 ⇒ uₙ ≥ 1.
- 2 - uₙ = 2(n+1)/(n+1) - (2n+1)/(n+1) = 1/(n+1) > 0 ⇒ uₙ < 2.
Donc ∀n∈ℕ, 1 ≤ uₙ < 2. La suite est bornée.

Exercice 9: Suite auxiliaire arithmétique

Soit u_n+1 = u_n / (1 + 3u_n) et u₀ = 1. On pose v_n = 1/u_n.
Montrer que (v_n) est arithmétique et exprimer u_n en fonction de n.

vₙ₊₁ - vₙ = (1/uₙ₊₁) - (1/uₙ) = (1+3uₙ)/uₙ - 1/uₙ = 3uₙ/uₙ = 3.
(vₙ) est arithmétique de raison r=3 et v₀=1/u₀=1.
vₙ = 1 + 3n.
Puisque vₙ = 1/uₙ, alors uₙ = 1 / (1 + 3n).

Exercice 10: Suite auxiliaire géométrique

Soit u_n+1 = 3u_n - 2 et u₀ = 2. On pose v_n = u_n - 1.
Montrer que (v_n) est géométrique et exprimer u_n en fonction de n.

vₙ₊₁ = uₙ₊₁ - 1 = (3uₙ - 2) - 1 = 3uₙ - 3 = 3(uₙ - 1) = 3vₙ.
(vₙ) est géométrique de raison q=3 et v₀=u₀-1=1.
vₙ = 1 * 3ⁿ = 3ⁿ.
D'où uₙ = 3ⁿ + 1.

Exercice 11: Système d'équations

Déterminer la suite arithmétique (u_n) telle que :
{ u₁ + u₅ = 20
{ u₃ + u₈ = 35

uₙ = u₀ + nr.
1) (u₀+r) + (u₀+5r) = 20 ⇒ 2u₀ + 6r = 20 ⇒ u₀ + 3r = 10.
2) (u₀+3r) + (u₀+8r) = 35 ⇒ 2u₀ + 11r = 35.
De (1) : u₀ = 10 - 3r. On remplace dans (2) :
2(10-3r) + 11r = 35 ⇒ 20 - 6r + 11r = 35 ⇒ 5r = 15 ⇒ r = 3.
u₀ = 10 - 3(3) = 1.

Exercice 12: Synthèse (Examen)

Soit u₀ = 4 et u_n+1 = (4u_n - 9) / (u_n - 2).
1. Montrer que u_n > 3.
2. On pose v_n = 1 / (u_n - 3). Montrer que (v_n) est arithmétique.

1. uₙ₊₁ - 3 = (4uₙ-9 - 3uₙ+6)/(uₙ-2) = (uₙ-3)/(uₙ-2).
Par récurrence, si uₙ > 3, alors uₙ-3 > 0 et uₙ-2 > 1, donc uₙ₊₁ > 3.
2. vₙ₊₁ - vₙ = 1/(uₙ₊₁-3) - 1/(uₙ-3) = (uₙ-2)/(uₙ-3) - 1/(uₙ-3) = (uₙ-3)/(uₙ-3) = 1.
La suite (vₙ) est arithmétique de raison r=1.

Pr. HICHAM

Expert en Mathématiques

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