سلسلة رقم 2

ابدأ التمارين الآن تواصل معي

هـ

الأستاذ هشام

@sakwilatop

+212 660 062 611

تمرين 11: نظمة متتالية حسابية

متوسط

(u_n) متتالية حسابية أساسها r بحيث:
{ u₁ + u₃ = 24
{ u₂ + u₅ = 39 أوجد الأساس r والحد الأول u₀.

نعبر عن الحدود بدلالة u₁ و r:
- u₂ = u₁ + r
- u₃ = u₁ + 2r
- u₅ = u₁ + 4r
النظمة تصبح:
1) u₁ + (u₁ + 2r) = 24 ⇒ 2u₁ + 2r = 24 ⇒ u₁ + r = 12
2) (u₁ + r) + (u₁ + 4r) = 39 ⇒ 2u₁ + 5r = 39
من (1) لدينا u₁ = 12 - r. نعوض في (2):
2(12 - r) + 5r = 39 ⇒ 24 - 2r + 5r = 39 ⇒ 3r = 15 ⇒ r = 5.
إذن u₁ = 12 - 5 = 7 ومنه u₀ = u₁ - r = 7 - 5 = 2.

تمرين 12: المتتاليات والجذور المربعة

صعب

نعتبر u_n+1 = √(2 + u_n) و u₀ = 0.
1. بين بالترجع أن 0 ≤ u_n < 2 لكل n.
2. أدرس رتابة المتتالية.

1. الترجع: من أجل n=0 لدينا 0 ≤ 0 < 2 (صحيح).
نفترض 0 ≤ u_n < 2. إذن 2 ≤ 2 + u_n < 4.
بإدخال الجذر: √2 ≤ √(2 + u_n) < √4 أي √2 ≤ u_n+1 < 2.
وبما أن √2 > 0 فإن 0 ≤ u_n+1 < 2.
2. الرتابة: ندرس إشارة u_n+1² - u_n²:
u_n+1² - u_n² = 2 + u_n - u_n² = -(u_n - 2)(u_n + 1).
بما أن u_n < 2 فإن u_n - 2 < 0، وبما أن u_n > 0 فإن u_n + 1 > 0.
إذن الفرق موجب، المتتالية تزايدية.

تمرين 13: المجموع المقلوب

متوسط

لتكن S_n = 1/(1×2) + 1/(2×3) + ... + 1/(n(n+1)).
1. تحقق أن 1/(k(k+1)) = 1/k - 1/(k+1).
2. استنتج تعبيراً مبسطاً لـ S_n بدلالة n.

1. التحقق: (1/k) - (1/(k+1)) = (k+1-k)/(k(k+1)) = 1/(k(k+1)) (صحيح).
2. التبسيط:
S_n = (1/1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + ... + (1/n - 1/(n+1)).
نلاحظ اختزال الحدود المتقابلة (تسمى مجموع تلسكوبي):
S_n = 1 - 1/(n+1) = n/(n+1).

تمرين 14: تطبيق حياتي (النمو السكاني)

سهل

يبلغ عدد سكان مدينة حالياً 100,000 نسمة. يزداد عدد السكان سنوياً بنسبة 5%.
1. أحسب عدد السكان بعد سنة وبعد سنتين.
2. أعط صيغة عدد السكان P_n بعد n سنة.

1. الحساب:
بعد سنة: P₁ = 100,000 + (100,000 × 0.05) = 100,000 × 1.05 = 105,000.
بعد سنتين: P₂ = 105,000 × 1.05 = 110,250.
2. الصيغة العامة:
بما أن الزيادة مئوية ثابتة، فإن (P_n) متتالية هندسية أساسها q = 1.05.
الحد العام: P_n = P₀ × qⁿ = 100,000 × (1.05)ⁿ.

تمرين 15: المتتالية الثابتة

صعب

نعتبر u_n+1 = (u_n + v_n)/2 و v_n+1 = (u_n + 3v_n)/4.
نضع w_n = v_n - u_n.
بين أن (w_n) هندسية، ثم استنتج نهاية الفرق إذا كان w₀ = 1.

لنبين أن w_n+1 = q w_n:
w_n+1 = v_n+1 - u_n+1 = (u_n + 3v_n)/4 - (u_n + v_n)/2
نوحد المقامات (المقام 4):
w_n+1 = (u_n + 3v_n - 2u_n - 2v_n) / 4 = (v_n - u_n) / 4 = (1/4)w_n.
إذن (w_n) هندسية أساسها q = 1/4.
بما أن -1 < 1/4 < 1، فإن نهاية الفرق w_n عندما يؤول n لـ +∞ هي 0.

هل تحتاج إلى شرح بالفيديو؟

أقدم شروحات مفصلة لجميع هذه التمارين وأكثر على قناتي في اليوتيوب. اشترك الآن لتصلك الدروس الجديدة.

تابعني على YouTube

تواصل مباشر

للحصول على السلسلة بصيغة PDF أو للاستفسار عن دروس الدعم والتقوية عبر الواتساب:

إعداد الأستاذ

هشام

رقم الواتساب