Mathématiques 1ère Bac Sciences Expérimentales

Les Suites Numériques

Objectifs pédagogiques

• ●Maîtriser le raisonnement par récurrence.
• ●Identifier et manipuler les suites arithmétiques et géométriques.
• ●Calculer des sommes de termes consécutifs.
• ●Étudier la monotonie et le caractère borné d'une suite.
• ●Modéliser des situations concrètes à l'aide de suites.

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Introduction

Ce résumé couvre les concepts fondamentaux des suites numériques pour le niveau 1ère Bac Sciences Expérimentales. Il traite des modes de génération, de la monotonie, des suites bornées, ainsi que des modèles arithmétiques et géométriques indispensables pour l'analyse mathématique.

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I. Généralités sur les Suites Numériques

Définition : Une suite numérique est une fonction définie de $\mathbb{N}$ (ou une partie de $\mathbb{N}$) vers $\mathbb{R}$.

Notation : On note la suite $(u_n{)}_{n\in I}$ et $u_n$ est le terme général d'indice $n$.

Modes de définition :

1. Formule explicite : $u_n=f(n)$. Le terme dépend directement de $n$ (ex: $u_n=2n+3$).

2. Formule de récurrence : $u_{n+1}=f(u_n)$ avec un premier terme donné (ex: $u_0=1$ et $u_{n+1}=2u_n+1$).

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II. Suites Bornées (Majorées, Minorées)

Suite Majorée : La suite $(u_n)$ est majorée par un réel $M$ si pour tout $n\in I$, $u_n\le M$.

Suite Minorée : La suite $(u_n)$ est minorée par un réel $m$ si pour tout $n\in I$, $u_n\ge m$.

Suite Bornée : La suite est bornée si elle est à la fois majorée et minorée ($m\le u_n\le M$).

Astuce : Pour montrer qu'une suite est bornée, on utilise souvent le raisonnement par récurrence.

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III. Monotonie d'une Suite

Méthode générale : On étudie le signe de la différence $u_{n+1}-u_n$.

Croissante : Si $u_{n+1}-u_n\ge 0$ pour tout $n$, la suite est croissante.

Décroissante : Si $u_{n+1}-u_n\le 0$ pour tout $n$, la suite est décroissante.

Constante : Si $u_{n+1}-u_n=0$, la suite est constante.

Cas particuliers (termes positifs) : Si $u_n>0$ pour tout $n$, on peut comparer le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à 1.

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IV. Suites Arithmétiques

Définition : Une suite est arithmétique s'il existe un réel $r$ (raison) tel que $u_{n+1}=u_n+r$.

Terme général : Pour tout $n\ge p$, $u_n=u_p+(n-p)r$.

Somme des termes consécutifs :

$S_n=u_p+u_{p+1}+...+u_n=\text{Nombre de termes}\times \frac{\text{Premier terme}+\text{Dernier terme}}{2}$.

Nombre de termes = $(n-p)+1$.

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V. Suites Géométriques

Définition : Une suite est géométrique s'il existe un réel $q$ (raison) tel que $u_{n+1}=q\times u_n$.

Terme général : Pour tout $n\ge p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$.

Somme des termes consécutifs (pour $q\ne 1$) :

$S_n=u_p+...+u_n=\text{Premier terme}\times \frac{1-q^{\text{Nombre de termes}}}{1-q}$.

Moyenne géométrique : Si $a,b,c$ sont en progression géométrique, alors $b^2=a\times c$.

Conclusion générale

La maîtrise des suites arithmétiques et géométriques est essentielle pour modéliser des phénomènes d'évolution. L'étude de la monotonie et des bornes prépare le terrain pour l'analyse de la convergence en Terminale.

Questions de révision

1

Qu'est-ce qu'une suite arithmétique ?

C'est une suite où l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours la même constante appelée raison $r$ ($u_{n+1}=u_n+r$).

2

Comment prouver qu'une suite est géométrique ?

Il faut calculer le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ et montrer que le résultat est une constante indépendante de $n$.

3

Quelle est la formule du terme général d'une suite géométrique ?

$u_n=u_0\times q^n$ (si le premier terme est $u_0$) ou $u_n=u_p\times q^{n-p}$ en général.

4

Comment étudie-t-on la monotonie d'une suite ?

On étudie le signe de la différence $D_n=u_{n+1}-u_n$.

5

Que signifie qu'une suite est majorée ?

Cela signifie qu'il existe un nombre réel $M$ tel que tous les termes de la suite sont inférieurs ou égaux à $M$.

6

Quelle est la somme de $1+2+...+n$ ?

C'est une suite arithmétique de raison 1. La somme est $\frac{n(n+1)}{2}$.

7

Quelle est la condition pour utiliser la formule de la somme géométrique $\frac{1-q^N}{1-q}$ ?

La raison $q$ doit être différente de 1.

8

Si $u_{n+1}=u_n$, quelle est la nature de la suite ?

C'est une suite constante (arithmétique de raison 0 et géométrique de raison 1).

9

Comment démontrer une propriété pour tout $n$ sur une suite définie par récurrence ?

On utilise le raisonnement par récurrence (Initialisation, Hérédité, Conclusion).

10

Si une suite est croissante, est-elle minorée ?

Oui, elle est minorée par son premier terme.

11

Quelle est la relation entre $a,b,c$ trois termes consécutifs d'une suite arithmétique ?

$2b=a+c$ (Moyenne arithmétique).

12

Quelle est la formule de la somme des termes d'une suite arithmétique ?

Nombre de termes $\times$ (Premier terme + Dernier terme) / 2.

13

Donnez un exemple de suite ni arithmétique ni géométrique.

$u_n=n^2$ ou $u_n=\frac{1}{n}$.