Mathématiques 1ère Année Baccalauréat Sciences Expérimentales

Généralités sur les fonctions

Objectifs pédagogiques

• ●Déterminer le domaine de définition d'une fonction numérique.
• ●Étudier la parité et la périodicité d'une fonction.
• ●Utiliser le taux d'accroissement pour déterminer les variations.
• ●Reconnaître et prouver qu'une fonction est majorée, minorée ou bornée.
• ●Maîtriser la composition de deux fonctions simples.

01

Introduction

Ce chapitre consolide et approfondit les notions fondamentales sur les fonctions numériques. Il introduit des outils analytiques pour l'étude globale (parité, périodicité, bornes) et locale (variations, extrémums) des fonctions, essentiels pour le programme de la 1ère année Bac Sciences Expérimentales.

02

I. Domaine de définition et Égalité

1. Domaine de définition ($D_f$):

C'est l'ensemble des réels $x$ pour lesquels $f(x)$ existe.

• - Fonctions polynômes : $D_f=\mathbb{R}$.
• - Fonctions rationnelles $\frac{P(x)}{Q(x)}$ : $D_f=\{x\in \mathbb{R}|Q(x)\ne 0\}$.
• - Fonctions irrationnelles $\sqrt{P(x)}$ : $D_f=\{x\in \mathbb{R}|P(x)\ge 0\}$.

2. Égalité de deux fonctions:

Deux fonctions $f$ et $g$ sont égales si et seulement si :

• $D_f=D_g$.
• Pour tout $x\in D_f$, $f(x)=g(x)$.

03

II. Parité et Périodicité

1. Fonction Paire:

• - Condition : $\forall x\in D_f,-x\in D_f$ et $f(-x)=f(x)$.
• - Géométrie : L'axe $(Oy)$ est un axe de symétrie de $C_f$.

2. Fonction Impaire:

• - Condition : $\forall x\in D_f,-x\in D_f$ et $f(-x)=-f(x)$.
• - Géométrie : L'origine $O$ est un centre de symétrie de $C_f$.

04

III. Variations et Taux d'accroissement

1. Taux d'accroissement :

Entre deux réels distincts $a$ et $b$ de $D_f$, le taux est : $T=\frac{f(a)-f(b)}{a-b}$

2. Monotonie sur un intervalle $I$ :

• Si $T\ge 0$, $f$ est croissante.
• Si $T\le 0$, $f$ est décroissante.

05

IV. Fonctions Bornées et Extrémums

Majorée :

Il existe $M$ tel que $f(x)\le M$.

Minorée :

Il existe $m$ tel que $f(x)\ge m$.

06

V. Composée de deux fonctions

La composée $g\circ f$ est définie par : $(g\circ f)(x)=g(f(x))$.

Conclusion générale

La maîtrise des généralités sur les fonctions est un prérequis indispensable pour l'analyse. L'étude de la parité simplifie le domaine d'étude, le taux d'accroissement détermine les variations, et la composition permet d'analyser des fonctions complexes à partir de fonctions usuelles.

Questions de révision

1

Quelle est la condition pour que deux fonctions soient égales ?

↳

Elles doivent avoir le même domaine de définition et la même expression pour tout x de ce domaine ($D_f=D_g$ et $f(x)=g(x)$).

2

Comment déterminer graphiquement si une fonction est paire ?

↳

La courbe représentative de la fonction doit être symétrique par rapport à l'axe des ordonnées $(Oy)$.

3

Quelle est la formule du taux d'accroissement entre $a$ et $b$ ?

↳

$T=\frac{f(a)-f(b)}{a-b}$.

4

Si le taux d'accroissement est strictement positif sur un intervalle, quel est le sens de variation ?

↳

La fonction est strictement croissante sur cet intervalle.

5

Quand dit-on qu'une fonction est bornée ?

↳

Lorsqu'elle est à la fois majorée (bornée supérieurement) et minorée (bornée inférieurement).

6

Quelle est la condition pour qu'une fonction $f$ admette un maximum absolu en $a$ ?

↳

Il faut que $a\in D_f$ et que pour tout $x\in D_f$, $f(x)\le f(a)$.

8

Si $f$ est croissante et $g$ est décroissante, quel est le sens de variation de $g\circ f$ ?

↳

La composée $g\circ f$ sera décroissante (sens de variations contraires).

9

Comment prouver qu'une fonction est majorée par $M$ ?

↳

On étudie le signe de la différence $M-f(x)$ et on montre que $M-f(x)\ge 0$ pour tout $x$ .

10

Une fonction peut-elle être ni paire ni impaire ?

↳

Oui, la majorité des fonctions ne sont ni paires ni impaires (ex: $f(x)=x^2+x$ ).

11

Quelle est la particularité graphique d'une fonction périodique de période $T$ ?

↳

Le motif de la courbe sur un intervalle de longueur $T$ se répète indéfiniment par translations de vecteur $T\vec{i}$ .

12

Si $f$ est impaire, que peut-on dire de $f(0)$ si 0 appartient au domaine ?

↳

Si $0\in D_f$ et $f$ est impaire, alors nécessairement $f(0)=0$ .

1ere Bac