Nombres relatifs : addition et soustraction
Objectifs Pédagogiques
- • Utiliser les nombres relatifs pour modéliser des situations.
- • Repérer un point sur une droite graduée.
- • Comparer deux nombres relatifs.
- • Additionner et soustraire des nombres relatifs.
- • Calculer la distance entre deux points sur une droite graduée.
Introduction
Ce cours introduit l'ensemble des nombres relatifs, une extension fondamentale des entiers naturels. Il permet de modéliser des situations impliquant des valeurs opposées (températures négatives, dettes, niveaux sous la mer). La maîtrise de l'addition et de la soustraction des relatifs est un prérequis indispensable pour l'algèbre.
I. Les nombres relatifs et la droite graduée
1. Définition d'un nombre relatif :
- Un nombre relatif est constitué d'un signe (+ ou −) et d'une partie numérique appelée distance à zéro.
- Les nombres positifs sont supérieurs à zéro (ex: +5, 3.2).
- Les nombres négatifs sont inférieurs à zéro (ex: −4, −2.5).
- Le nombre 0 est le seul nombre à la fois positif et négatif.
2. La droite graduée :
- Une droite graduée est définie par une origine (O), un sens et une unité de longueur.
- Chaque point est repéré par un nombre relatif appelé son abscisse.
- Exemple : Si M a pour abscisse −3, on note M(−3).
3. Nombres opposés :
- Deux nombres sont opposés s'ils ont la même distance à zéro mais des signes contraires.
- Exemple : L'opposé de 5 est −5. L'opposé de −12.4 est 12.4.
- La somme de deux nombres opposés est toujours nulle : a + (−a) = 0.
II. Comparaison des nombres relatifs
Pour comparer deux nombres relatifs, on applique les règles strictes suivantes :
1. Comparaison de signes contraires :
Tout nombre positif est strictement supérieur à tout nombre négatif.
Exemple : +2 > −1000.
2. Comparaison de deux nombres positifs :
Le plus grand est celui qui a la plus grande distance à zéro.
Exemple : +15 > +9.
3. Comparaison de deux nombres négatifs :
Le plus grand est celui qui a la plus petite distance à zéro (le plus proche de zéro).
Exemple : −5 > −8 car 5 < 8.
Attention : Sur la droite graduée, le nombre le plus grand est toujours celui situé le plus à droite.
III. Addition des nombres relatifs
1. Addition de deux nombres de même signe :
- On garde le signe commun.
- On additionne les distances à zéro.
• Exemple (+) : (+3) + (+5) = +(3 + 5) = +8.
• Exemple (-) : (−4) + (−2) = −(4 + 2) = −6.
2. Addition de deux nombres de signes contraires :
- On prend le signe du nombre ayant la plus grande distance à zéro.
- On soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande.
Exemple 1 : (−7) + (+3). La distance de −7 est plus grande. Signe (−). Calcul : 7 − 3 = 4. Résultat : −4.
Exemple 2 : (+12) + (−5). La distance de +12 est plus grande. Signe (+). Calcul : 12 − 5 = 7. Résultat : +7.
IV. Soustraction des nombres relatifs
La soustraction se transforme toujours en addition.
1. Règle fondamentale :
Soustraire un nombre relatif revient à ajouter son opposé.
a − b = a + (−b)
2. Exemples d'application :
- • Exemple 1 : (+5) − (+8) = (+5) + (−8) = −3
- • Exemple 2 : (−4) − (−9) = (−4) + (+9) = +5
- • Exemple 3 : (+2) − (−3) = (+2) + (+3) = +5
V. Somme algébrique et simplification
1. Définition :
Une suite d'additions et de soustractions est appelée somme algébrique.
2. Méthode de calcul :
- Transformer toutes les soustractions en additions.
- Regrouper les termes positifs entre eux et les termes négatifs entre eux.
- Calculer.
3. Suppression des parenthèses :
- Parenthèse précédée d'un signe + : On supprime les parenthèses sans changer les signes intérieurs.
- Parenthèse précédée d'un signe − : On supprime les parenthèses en changeant tous les signes intérieurs.
Exemple : 5 − (3 − 7) = 5 − 3 + 7
VI. Distance entre deux points
Sur une droite graduée, la distance entre deux points A et B est donnée par la différence entre la plus grande abscisse et la plus petite abscisse.
- Une distance est toujours positive.
- Exemple : Si A(−3) et B(+2). xB > xA. Donc AB = (+2) − (−3) = 2 + 3 = 5.