Mathématiques : 1ère Année Baccalauréat
Devoir Surveillé N°1 - 1er Semestre (BIOF)
Énoncé de l'Examen
Durée : 2 heuresExercice 1 : Logique Mathématique (6 pts)
1. Déterminer la valeur de vérité des propositions suivantes :
● $P: (\forall x \in \mathbb{R}): x^2 + x + 1 > 0$
● $Q: (\exists n \in \mathbb{N}): \sqrt{n^2+1} \in \mathbb{N}$
2. En utilisant le raisonnement par récurrence, montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}): 3^n \geq 1 + 2n$
Exercice 2 : Ensembles et Applications (6 pts)
On considère l'ensemble : $A = \{x \in \mathbb{Z} / |x-1| \leq 2\}$
1. Déterminer l'ensemble $A$ en extension (énumérer ses éléments).
2. Déterminer les ensembles suivants : $A \cap \mathbb{N}$ et $A \cup \{4, 5\}$.
Exercice 3 : Généralités sur les fonctions (8 pts)
Soit $f$ la fonction définie par : $f(x) = \frac{x-1}{x+2}$
1. Déterminer $D_f$, le domaine de définition de la fonction $f$.
2. Étudier la monotonie de $f$ sur les intervalles de son domaine.
3. Dresser le tableau de variations de $f$.
Éléments de Réponse
OfficielSolution Exercice 1
1. ● Proposition $P$ : Le discriminant $\Delta = -3 < 0$, le signe est celui de $a=1$. Vraie
● Proposition $Q$ : Pour $n=0$, on a $\sqrt{1}=1 \in \mathbb{N}$. Vraie
2. Récurrence : Vérification pour $n=0$, hérédité, puis conclusion.
Solution Exercice 2
1. $|x-1| \leq 2 \iff -1 \leq x \leq 3$.
L'ensemble $A = \{-1, 0, 1, 2, 3\}$
2. $A \cap \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3\}$.
Solution Exercice 3
1. Le dénominateur doit être non nul : $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$.
$D_f = ]-\infty, -2[ \cup ]-2, +\infty[$
2. Déterminant $\Delta = (1)(2) - (1)(-1) = 3 > 0$. Donc $f$ est strictement croissante sur ses intervalles.
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