Devoir Surveillé N°1 : Le Barycentre

Royaume du Maroc | Mathématiques

Devoir Surveillé N°1 : Le Barycentre

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Exercice 1 : Application directe et construction

4 pts

Soit ABC un triangle.

1. Construire le point G barycentre du système {(A,2);(B,1)}.

2. Construire le point K barycentre du système {(A,2);(B,1);(C,−1)}.

3. Montrer que CK = 2 3 CG .

Exercice 2 : Coordonnées

5 pts

Dans le plan muni d'un repère (O; i, j), on donne A(1,2), B(−3,4) et C(−2,0).

1. Déterminer les coordonnées de G, barycentre de {(A,1),(B,−1),(C,2)}.

2. Déterminer les coordonnées de D pour que ABCD soit un parallélogramme. (Utiliser la notion de milieu ou vecteurs).

3. Montrer que C est le barycentre de {(D,1),(B,1)}.

Exercice 3 : Associativité et Alignement

6 pts

Soit ABC un triangle. On définit I milieu de [BC], J milieu de [AC].

Soit G le centre de gravité du triangle ABC.

1. Écrire G comme barycentre des points A, B, C.

2. En utilisant l'associativité, montrer que G appartient à la droite (AI).

3. De même, montrer que G appartient à (BJ).

4. Conclure sur la position de G.

Exercice 4 : Ligne de niveau

5 pts

Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB = 3 et AC = 4.

Soit G le barycentre de {(A,1),(B,1),(C,1)}.

1. Calculer la distance AG (On rappelle que G est au 2/3 de la médiane issue de A).

2. Déterminer l'ensemble (C) des points M tels que ‖ MA + MB + MC‖ = 6.

Correction et Barème

Correction Exercice 1

1. On a AG = 1 2+1 AB = 1 3 AB. On place G au tiers du segment [AB].

2. Pour K, on utilise la relation vectorielle : 2KA + KB − KC = 0. En introduisant A par Chasles : 2KA + (KA + AB) − (KA + AC) = 0 ⇒ 2KA = −AB + AC ⇒ AK = 1 2 (AB − AC) = 1 2 CB. K est le milieu de [CB] translaté.

3. Utilisons l'associativité. G = Bar{(A,2),(B,1)}. Donc K est le barycentre de {(G,3),(C,−1)}. Alors 3KG − 1KC = 0 ⇒ 3(KC + CG) − KC = 0 ⇒ 2KC + 3CG = 0 ⇒ 2CK = 3CG ⇒ CK = 2 3 CG.

Correction Exercice 2

1. Somme des poids : 1 − 1 + 2 = 2 ≠ 0.

x_G = 1(1) − 1(−3) + 2(−2) 2 = 1 + 3 − 4 2 = 0.

y_G = 1(2) − 1(4) + 2(0) 2 = 2 − 4 2 = −1. Donc G(0,−1).

2. ABCD parallélogramme ⟺ AB = DC.

AB(−3−1; 4−2) = (−4; 2). Soit D(x, y), DC(−2−x; 0−y).

−2−x = −4 ⇒ x = 2  et  −y = 2 ⇒ y = −2. Donc D(2, −2).

3. Barycentre de {(D, 1), (B, 1)} est le milieu de [DB].

x_m = 2 + (−3)2 = −0.5  et  y_m = −2 + 42 = 1.

Comparons avec C(−2, 0). Il y a une erreur dans l'énoncé de la question ou la déduction. Vérifions CB + CD . B(−3, 4), C(−2, 0), D(2, −2). Vector CB(−1, 4), Vector CD(4, −2). Somme ≠ 0. La question demande de prouver ou vérifier. Ici C n'est PAS le milieu de [BD].

Correction Exercice 3

1. Le centre de gravité est l'isobarycentre. G = Bar{(A, 1), (B, 1), (C, 1)}.

2. On sait que I est le milieu de [BC], donc I = Bar{(B, 1), (C, 1)}.

Par associativité, G est le barycentre de {(A, 1), (I, 2)}.

Par définition du barycentre de deux points, G appartient à la droite (AI).

3. J = Bar{(A, 1), (C, 1)}. Par associativité, G est le barycentre de {(J, 2), (B, 1)}.

Donc G appartient à la droite (JB).

4. G appartient à la fois à (AI) et (BJ), qui sont les médianes du triangle. G est donc l'intersection des médianes.

Correction Exercice 4

1. Dans un triangle rectangle, la longueur de la médiane issue de l'angle droit vaut la moitié de l'hypoténuse.

BC = 3² + 4² = 5. Soit I le milieu de [BC], AI = 2.5.

G est le centre de gravité, donc AG = 23 AI .

AG = 23 × 2.5 = 53.

2. On réduit la somme vectorielle : MA + MB + MC = 3 MG.

L'équation devient ∥3MG∥ = 6 ⇔ 3MG = 6 ⇔ MG = 2.

L'ensemble (C) est le cercle de centre G et de rayon 2.