Mathématiques 1ère Bac Sciences Expérimentales (1Bac Sc. Exp)

Le Barycentre dans le Plan

Objectifs pédagogiques

• ● Maîtriser la construction du barycentre de 2, 3 ou 4 points.
• ● Utiliser les propriétés d'associativité pour démontrer l'alignement de points.
• ● Utiliser le barycentre pour démontrer la concourance de droites.
• ● Calculer les coordonnées d'un barycentre.
• ● Déterminer et construire des lignes de niveau (ensembles de points).

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Introduction

Le barycentre est un outil fondamental en géométrie vectorielle et analytique. Il permet de simplifier l'étude des problèmes d'alignement de points, de concours de droites et de déterminer des lieux géométriques. Ce chapitre pour le niveau 1ère Bac Sciences Expérimentales formalise la notion de moyenne pondérée appliquée aux vecteurs.

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I. Barycentre de deux points pondérés

1. Définition :

Soient $(A,\alpha )$ et $(B,\beta )$ deux points pondérés du plan tels que $\alpha +\beta \ne 0$.

Il existe un unique point $G$ vérifiant la relation vectorielle : $\alpha \overrightarrow{GA}+\beta \overrightarrow{GB}=\vec{0}$.

Ce point $G$ est appelé le barycentre du système $\{(A,\alpha );(B,\beta )\}$.

2. Propriété caractéristique :

Pour tout point $M$ du plan, on a : $\alpha \overrightarrow{MA}+\beta \overrightarrow{MB}=(\alpha +\beta )\overrightarrow{MG}$.

3. Construction géométrique :

En remplaçant $M$ par $A$ dans la relation caractéristique, on obtient :

$\overrightarrow{AG}=\frac{\beta }{\alpha +\beta }\overrightarrow{AB}$.

Cela prouve que $A$, $B$ et $G$ sont alignés et permet de placer $G$ sur la droite $(AB)$.

4. Cas particulier (L'isobarycentre) :

Si $\alpha =\beta$ (et $\alpha \ne 0$), alors $G$ est le milieu du segment $[AB]$. On dit que $G$ est l'isobarycentre de $A$ et $B$.

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II. Barycentre de trois points pondérés

1. Définition :

Soit un système de trois points pondérés $\{(A,\alpha ),(B,\beta ),(C,\gamma )\}$ tels que $\alpha +\beta +\gamma \ne 0$.

Le barycentre $G$ est l'unique point vérifiant : $\alpha \overrightarrow{GA}+\beta \overrightarrow{GB}+\gamma \overrightarrow{GC}=\vec{0}$.

2. Relation vectorielle pour tout point M :

Pour tout point $M$ du plan : $\alpha \overrightarrow{MA}+\beta \overrightarrow{MB}+\gamma \overrightarrow{MC}=(\alpha +\beta +\gamma )\overrightarrow{MG}$.

3. Coordonnées du barycentre :

Dans un repère $(O;\vec{i},\vec{j})$, si $A(x_A,y_A)$, $B(x_B,y_B)$ et $C(x_C,y_C)$, alors les coordonnées de $G(x_G,y_G)$ sont :

$x_G=\frac{\alpha x_A+\beta x_B+\gamma x_C}{\alpha +\beta +\gamma }$

$y_G=\frac{\alpha y_A+\beta y_B+\gamma y_C}{\alpha +\beta +\gamma }$

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III. Propriétés fondamentales (Homogénéité et Associativité)

1. Homogénéité :

Le barycentre ne change pas si l'on multiplie tous les coefficients (poids) par un même réel $k$ non nul.

$Bar\{(A,\alpha ),(B,\beta )\}=Bar\{(A,k\alpha ),(B,k\beta )\}$.

2. Associativité (Barycentre partiel) :

Pour construire le barycentre de trois points ou plus, on peut remplacer un sous-groupe de points par leur barycentre partiel affecté de la somme de leurs poids.

Si $H=Bar\{(A,\alpha ),(B,\beta )\}$, alors $G=Bar\{(A,\alpha ),(B,\beta ),(C,\gamma )\}$ est aussi le barycentre de $\{(H,\alpha +\beta ),(C,\gamma )\}$.

Cette propriété signifie que $G$ appartient à la droite $(HC)$.

3. Application à la géométrie :

L'associativité est cruciale pour démontrer que des droites sont concourantes ou que des points sont alignés.

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IV. Ensembles de points (Lignes de niveau)

L'outil barycentrique permet de déterminer l'ensemble des points $M$ du plan vérifiant des conditions vectorielles ou scalaires.

1. Type vecteur constant :

Pour déterminer l'ensemble des points $\Vert \alpha \overrightarrow{MA}+\beta \overrightarrow{MB}\Vert =k$ (avec $k>0$ et $\alpha +\beta \ne 0$) :

On réduit la somme vectorielle : $\Vert (\alpha +\beta )\overrightarrow{MG}\Vert =k⟺\Vert \overrightarrow{MG}\Vert =\frac{k}{|\alpha +\beta |}$.

L'ensemble est le cercle de centre $G$ et de rayon $R=\frac{k}{|\alpha +\beta |}$.

2. Type égalité de normes :

∥MA+MB∥=∥MC+MD∥+MD∥ c-16-25.333-24-45-24-59z">∥.

En introduisant les isobarycentres respectifs $I$ et $J$, cela revient souvent à $\Vert 2\overrightarrow{MI}\Vert =\Vert 2\overrightarrow{MJ}\Vert$, soit $MI=MJ$. L'ensemble est la médiatrice de $[IJ]$.

Conclusion générale

Le barycentre permet de transformer des sommes vectorielles complexes en un seul vecteur lié à un point fixe. C'est un outil puissant pour résoudre des problèmes d'alignement, de concours de droites et pour l'étude des lieux géométriques dans le plan.

Questions de révision

1

Quelle est la condition fondamentale sur les poids $\alpha$ et $\beta$ pour que le barycentre de deux points existe ?

↳

La somme des poids doit être non nulle : $\alpha +\beta \ne 0$.

2

Quelle est la relation vectorielle définissant le barycentre $G$ de $\{(A,\alpha ),(B,\beta )\}$ ?

↳

$\alpha \overrightarrow{GA}+\beta \overrightarrow{GB}=\vec{0}$.

3

Comment exprimer $\overrightarrow{AG}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ pour le barycentre de deux points ?

↳

$\overrightarrow{AG}=\frac{\beta }{\alpha +\beta }\overrightarrow{AB}$.

4

Que signifie l'isobarycentre de trois points $A,B,C$ ?

↳

C'est le barycentre lorsque les poids sont égaux ($\alpha =\beta =\gamma$). C'est le centre de gravité du triangle $ABC$.

5

Qu'est-ce que la propriété d'homogénéité ?

↳

Le barycentre ne change pas si l'on multiplie tous les coefficients par un même réel non nul.

6

À quoi sert la propriété d'associativité ?

↳

Elle permet de simplifier la construction du barycentre de plusieurs points en utilisant des barycentres partiels.

7

Si $G$ est le barycentre de $\{(A,1),(B,3)\}$, où se situe $G$ par rapport à $A$ et $B$ ?

↳

$G$ est sur le segment $[AB]$, plus proche de $B$ (car le poids de $B$ est plus grand). Précisément au quart de la distance à partir de $A$.

8

Quelle est la formule des coordonnées $x_G$ du barycentre de deux points ?

↳

$x_G=\frac{\alpha x_A+\beta x_B}{\alpha +\beta }$.

9

Que représente l'ensemble des points $M$ tel que $\Vert \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\Vert =\Vert \overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\Vert$ ?

↳

C'est le cercle de diamètre $[AB]$ (car cela équivaut à $2MI=AB$ où $I$ est le milieu de $[AB]$).

10

Que se passe-t-il si $\alpha +\beta =0$ dans l'expression $\alpha \overrightarrow{MA}+\beta \overrightarrow{MB}$ ?

↳

Le vecteur résultant est constant et ne dépend pas du point $M$. Ce n'est pas un barycentre.

11

Comment démontrer que trois points sont alignés avec le barycentre ?

↳

Si on peut écrire l'un des points comme barycentre des deux autres, alors ils sont alignés.

12

Quel est l'ensemble des points $M$ vérifiant $\Vert \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\Vert =3$ ?

↳

C'est le cercle de centre $G$ (isobarycentre de $A,B,C$) et de rayon $1$.