Devoire surveille n°1 - le produit scalaire dans le plan

Royaume du Maroc

Ministère de l'Éducation Nationale, du Préscolaire et des Sports

Académie Régionale d'Éducation et de Formation

Mathèmatique

Année Scolaire 2025/2026

Level:1Bac Sc. Expérimentales

Duration:2 Heures

Coeff:4

Nom et Prénom: Numéro:

Exercice 1 : Calcul analytique du produit scalaire

3.5 pts

Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$, on considère les points $A(1; 2)$, $B(4; -2)$ et $C(6; 2)$.

1. Calculer les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$. (0.5 pt)
2. Calculer le produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$. (1 pt)
3. Calculer les distances $AB$ et $AC$. (1 pt)
4. En déduire la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$. (1 pt)

Exercice 2 : Théorème d'Al-Kashi et de la Médiane

3.5 pts

Soit $ABC$ un triangle tel que $AB = 5$, $AC = 8$ et $\widehat{BAC} = \frac{\pi}{3}$.

1. En utilisant le théorème d'Al-Kashi, calculer la longueur du côté $BC$. (1.5 pt)
2. Soit $I$ le milieu du segment $[BC]$. En utilisant le théorème de la médiane, calculer la distance $AI$. (2 pts)

Exercice 3 : Propriétés du produit scalaire

3 pts

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs du plan tels que $\|\vec{u}\| = 2$, $\|\vec{v}\| = 3$ et $(\vec{u}, \vec{v}) = \frac{2\pi}{3}$.

1. Calculer $\vec{u} \cdot \vec{v}$. (1 pt)
2. Calculer le produit scalaire $A = (2\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} + 3\vec{v})$. (2 pts)

Exercice 4 : Droites et vecteurs normaux

3 pts

Dans le plan muni d'un repère orthonormé :

1. Déterminer une équation cartésienne de la droite $(D)$ passant par $A(-1; 3)$ et admettant $\vec{n}(2; -5)$ comme vecteur normal. (1.5 pt)
2. Calculer la distance du point $B(4; 2)$ à la droite $(D)$. (1.5 pt)

Bonne chance - Page 1/1

Prof. Hicham

2025/2026

@sakwilatop

+212 660 062 611

Éléments de réponse

CORRECTION SOMMAIRE:

Exercice 1:

1. $\vec{AB}(3; -4)$, $\vec{AC}(5; 0)$. 2. $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 15$. 3. $AB = 5$, $AC = 5$. 4. $\cos(\widehat{BAC}) = 0.6 \Rightarrow \widehat{BAC} \approx 53.13^\circ$.

Exercice 2:

1. $BC^2 = 25 + 64 - 2(5)(8)(0.5) = 49 \Rightarrow BC = 7$. 2. $AI^2 = \frac{2(25+64)-49}{4} = 32.25 \Rightarrow AI \approx 5.68$.

Exercice 3:

1. $\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \times 3 \times \cos(2\pi/3) = -3$. 2. $A = 2\|\vec{u}\|^2 + 5(\vec{u}\cdot\vec{v}) - 3\|\vec{v}\|^2 = 8 - 15 - 27 = -34$.

Exercice 4:

1. $2(x+1) - 5(y-3) = 0 \Rightarrow 2x - 5y + 17 = 0$. 2. $d(B, D) = \frac{|2(4)-5(2)+17|}{\sqrt{2^2+(-5)^2}} = \frac{15}{\sqrt{29}} \approx 2.78$.