Devoirs surveille n°1 - Notions de logique
Royaume du Maroc
Ministère de l'Éducation
Académie Régionale
Académie Régionale
Mathématiques
Devoirs n°1
Automne 2025-2026
Niveau
1ère Bac Exp
Durée
2 Heures
Coeff
7
Nom et Prénom:
Numéro:
Exercice 1 : Quantificateurs et Négation
3 pts- Déterminer la valeur de vérité des propositions suivantes :
a) \(P_1 : (\exists x \in \mathbb{R}) : x^2 + x + 1 = 0\)
b) \(P_2 : (\forall n \in \mathbb{N}) : \sqrt{n} \in \mathbb{N}\) - Donner la négation des propositions suivantes :
a) \(Q_1 : (\forall x \in \mathbb{R}) (\exists y \in \mathbb{R}) : x \leq y\)
b) \(Q_2 : (\forall x \in \mathbb{R}^*) : x > 0 \implies \frac{1}{x} > 0\)
Exercice 2 : Raisonnement par Contre-exemple
3 pts- Montrer que la proposition est fausse :
\((\forall x \in \mathbb{R}) (\forall y \in \mathbb{R}) : x^2 = y^2 \implies x = y\) - Montrer par contraposée :
\(x \neq y \implies \sqrt{x+1} \neq \sqrt{y+1}\)
Exercice 3 : Disjonction des Cas
3 pts- Résoudre : \(|2x - 4| = |x + 1|\)
- Montrer que \(n(n+1)\) est toujours pair
Exercice 4 : Raisonnement par l'Absurde
3 ptsMontrer par l'absurde : \(\forall x \in \mathbb{R}, \frac{x^2+2}{x^2+1} \neq 2\)
Exercice 5 : Équivalences Successives
4 ptsMontrer que : \(\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}\) pour \(a \geq 0, b \geq 0\)
Exercice 6 : Raisonnement par Récurrence
4 pts- Montrer : \(1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}\)
- Montrer : \(3^{2n} - 1\) est divisible par \(8\)