Devoirs surveille n°1 - Généralités sur les fonctions

Royaume du Maroc

Ministère de l'Éducation

Scolaire 2025/2026

Mathématiques

Devoirs à Domicile

Niveau: 1BAC Exp

Durée: 2 heures

Coeff: 7

Nom et Prénom:

N°:

Exercice 1 : Domaine & Parité

6 pts

Soient f et g deux fonctions numériques définies par:

f(x) = x³ / (|x| - 2) et g(x) = √(9 - x²)

1. Déterminer D_f, le domaine de définition de la fonction f. (1.5 pt)
2. Étudier la parité de la fonction f. (1.5 pt)
3. Déterminer D_g. (1.5 pt)
4. Étudier la parité de la fonction g. (1.5 pt)

Exercice 2 : Variations et Extrémums

8 pts

Soit f définie sur ℝ par:

f(x) = 2x² - 4x + 3

1. Calculer le taux d'accroissement T(a,b) pour a ≠ b. (2 pts)
2. Étudier les variations de f sur [1, +∞[. (1.5 pt)
3. Étudier les variations de f sur ]-∞, 1]. (1.5 pt)
4. Dresser le tableau de variations de f. (1 pt)
5. En déduire l'extrémum de la fonction. (1 pt)
6. Montrer que pour tout x ∈ ℝ, f(x) ≥ 1. (1 pt)

Exercice 3 : Fonctions Bornées

6 pts

On considère:

h(x) = (2x² + 1) / (x² + 1)

1. Montrer que D_h = ℝ. (1 pt)
2. Montrer que h(x) = 2 - 1/(x² + 1). (1.5 pt)
3. Montrer que h est minorée par 1. (1.5 pt)
4. Montrer que h est majorée par 2. (1 pt)
5. La fonction h est-elle bornée ? (1 pt)

👤 Prof. Hicham

📅 2025/2026

🎥 @sakwilatop

📞 +212 660 062 611

Bon courage à tous les étudiants

✓ Correction et Éléments de Réponse

Exercice 1 (6 pts)
1. D_f = ℝ \ {-2, 2} car |x| - 2 ≠ 0
2. f(-x) = -x³ / (|-x| - 2) = -x³ / (|x| - 2) = -f(x) → f est impaire
3. D_g = [-3, 3] car 9 - x² ≥ 0
4. g(-x) = √(9 - (-x)²) = √(9 - x²) = g(x) → g est paire

Exercice 2 (8 pts)
1. T(a,b) = [f(b) - f(a)] / (b - a) = 2(b + a) - 4
2. f est croissante sur [1, +∞[ car f'(x) = 4x - 4 > 0 pour x > 1
3. f est décroissante sur ]-∞, 1]
4. Minimum en x = 1, f(1) = 1
5. Extrémum: minimum global = 1
6. f(x) = 2(x-1)² + 1 ≥ 1 ✓

Exercice 3 (6 pts)
1. D_h = ℝ car x² + 1 > 0 pour tout x ∈ ℝ
2. h(x) = (2x² + 2 - 1)/(x² + 1) = 2 - 1/(x² + 1) ✓
3. 1/(x² + 1) ≤ 1 donc h(x) ≥ 2 - 1 = 1
4. 1/(x² + 1) > 0 donc h(x) < 2
5. Oui, h est bornée: 1 ≤ h(x) < 2