Calcul numériques - Identités remarquables - Puissances

Mathématiques3ème Année Collège

Calcul Numérique : Identités Remarquables et Puissances

Objectifs pédagogiques

• ●Reconnaître et utiliser les identités remarquables dans les deux sens (développement et factorisation).
• ●Maîtriser les règles de calcul sur les puissances d'un nombre rationnel.
• ●Déterminer le signe d'une puissance.
• ●Utiliser les puissances de 10.
• ●Écrire un nombre décimal sous forme scientifique.

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Introduction

Ce module consolide les bases du calcul littéral et numérique. Il vise à maîtriser les techniques de développement et de factorisation à l'aide des identités remarquables, ainsi que la manipulation des règles de calcul sur les puissances et l'écriture scientifique, outils indispensables pour la résolution d'équations et la modélisation mathématique en 3ème année de collège.

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1. Développement et Factorisation (Rappels)

Définition du Développement :

Transformer un produit en une somme ou une différence.

Propriété de Distributivité simple :

$k(a+b)=ka+kb$

Propriété de Distributivité double :

$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$

Définition de la Factorisation :

Transformer une somme ou une différence en un produit.

Recherche d'un facteur commun $k$ :

$ka+kb=k(a+b)$

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2. Les Identités Remarquables

Ces formules permettent de développer ou factoriser rapidement certaines expressions algébriques.

Première Identité (Carré d'une somme) :

$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$

Deuxième Identité (Carré d'une différence) :

$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$

Troisième Identité (Différence de deux carrés) :

$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$

Utilisation :

- Dans le sens gauche $\to$ droite : Développement.

- Dans le sens droite $\to$ gauche : Factorisation.

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3. Puissances : Définitions et Signes

Définition générale :

Soit $a$ un nombre rationnel et $n$ un entier naturel non nul.

$a^n=a\times a\times \cdots \times a$ ($n$ facteurs).

Cas particuliers importants :

- $a^1=a$

- $a^0=1$ (pour $a\ne 0$)

- $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ (L'inverse)

Règle des signes :

- Si $a>0$, alors $a^n$ est toujours positif.

- Si $a<0$ et $n$ est PAIR, alors $a^n$ est positif. Exemple : $(-2{)}^4=16$.

- Si $a<0$ et $n$ est IMPAIR, alors $a^n$ est négatif. Exemple : $(-2{)}^3=-8$.

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4. Opérations sur les Puissances

Pour tous nombres rationnels non nuls $a$ et $b$, et pour tous entiers relatifs $n$ et $m$ :

Produit de puissances de même base :

$a^n\times a^m=a^{n+m}$

Quotient de puissances de même base :

$\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$

Puissance d'une puissance :

$(a^n{)}^m=a^{n\times m}$

Puissance d'un produit :

$(a\times b{)}^n=a^n\times b^n$

Puissance d'un quotient :

$(\frac{a}{b}{)}^n=\frac{a^n}{b^n}$

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5. Puissances de 10 et Écriture Scientifique

Puissances de 10 :

- $10^n=100\dots 0$ ($n$ zéros après le 1).

- $10^{-n}=0,00\dots 01$ ($n$ zéros au total, dont un avant la virgule).

Écriture Scientifique :

Tout nombre décimal positif peut s'écrire sous la forme $a\times 10^n$ où :

- $1\le a<10$ (Le nombre $a$ a un seul chiffre non nul avant la virgule).

- $n$ est un entier relatif.

Exemples :

- $12300=1,23\times 10^4$

- $0,0045=4,5\times 10^{-3}$

Conclusion générale

La maîtrise des identités remarquables est cruciale pour la factorisation et la résolution d'équations du second degré. De même, les propriétés des puissances et l'écriture scientifique sont des compétences transversales essentielles pour les sciences physiques et les mathématiques avancées.

Questions de révision

1

Développer l'expression $(x+5{)}^2$.

↳

$x^2+10x+25$

2

Factoriser l'expression $x^2-49$.

↳

$(x-7)(x+7)$

3

Simplifier le produit $x^3\times x^4$.

↳

$x^7$

4

Quel est le signe de $(-5{)}^3$ ?

↳

Négatif (car l'exposant est impair et la base négative).

5

Donner l'écriture scientifique de $0,00032$.

↳

$3,2\times 10^{-4}$

6

Calculer la valeur de $2^{-3}$.

↳

$\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}=0,125$

7

Développer $(2x-3{)}^2$.

↳

$4x^2-12x+9$

8

Simplifier l'expression $(x^2{)}^5$.

↳

$x^{10}$

9

Donner la valeur de $153^0$.

↳

$1$

10

Écrire sous forme d'une seule puissance : $2^4\times 5^4$.

↳

$10^4$ (Propriété : $a^n\times b^n=(ab{)}^n$)

11

Factoriser $9x^2+6x+1$.

↳

$(3x+1{)}^2$

12

Simplifier $\frac{10^5}{10^2}$.

↳

$10^3=1000$

13

Développer $(3x-2)(3x+2)$.

↳

$9x^2-4$

14

Donner l'écriture scientifique de $540\times 10^3$.

↳

$5,4\times 10^5$

15

Quel est le résultat de $(-1{)}^{2024}$ ?

↳

$1$ (car l'exposant est pair).

Mots-clés

# Identités remarquables# Développement# Factorisation# Puissance# Exposant# Base# Écriture scientifique# Distributivité